Precálculo Ejemplos

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$2 θ = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{5 π}{6}$ .

$2 θ = \frac{5 π}{6}$

Paso 3

Divide cada término en $2 θ = \frac{5 π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 θ = \frac{5 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Paso 3.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$θ = \frac{5 π}{12}$

Paso 4

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 θ = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Paso 5

Resuelve $θ$

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 5.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Paso 5.1.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Paso 5.1.5

Resta $5 π$ de $12 π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

Paso 5.2

Divide cada término en $2 θ = \frac{7 π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $2 θ = \frac{7 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Multiplica $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$θ = \frac{7 π}{12}$

Paso 6

Obtén el período de $\cos (2 θ)$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 6.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 7

El período de la función $\cos (2 θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$