Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + x - 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{2} + x - 1$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - 1$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.3.2.2

Divide $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{1}$

Paso 1.2.3.2.3

Divide $1$ por $1$ .

$d = 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = - 1 - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 1.2.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = \frac{- 2 - 1}{2}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$e = \frac{- 3}{2}$

Paso 1.2.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{3}{2}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - \frac{3}{2}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - \frac{3}{2}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - \frac{3}{2}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 1, - \frac{3}{2})$

Paso 4