Precálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 7 x - 9$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 7 x - 9$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{2} + 7 x - 9$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 7$

$c = - 9$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{7}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = \frac{7}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 2}{2}}$

Paso 1.2.3.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$d = \frac{7}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.3

Divide $7$ por $- 1$ .

$d = - 7$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 9 - \frac{7^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$e = - 9 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - 9 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = - 9 - \frac{49}{\frac{- 4}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$e = - 9 - \frac{49}{- 2}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - 9 - - \frac{49}{2}$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{49}{2}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - 9 + 1 (\frac{49}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{49}{2}$ por $1$ .

$e = - 9 + \frac{49}{2}$

Paso 1.2.4.2.2

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = - 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{49}{2}$

Paso 1.2.4.2.3

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{49}{2}$

Paso 1.2.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 9 \cdot 2 + 49}{2}$

Paso 1.2.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.5.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$e = \frac{- 18 + 49}{2}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Suma $- 18$ y $49$ .

$e = \frac{31}{2}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2} + \frac{31}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2} + \frac{31}{2}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 7)}^{2} + \frac{31}{2}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 7$

$k = \frac{31}{2}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(7, \frac{31}{2})$

Paso 4