Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 9 x - 16$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{9}{2 (1)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{9}{2 (1)}$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = - \frac{9}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{9}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{9}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{2} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = 1 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{9^{2}}{2^{2}} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Paso 3.2.1.4

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2^{2}} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Paso 3.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $9 (- \frac{9}{2})$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - 9 (\frac{9}{2}) - 16$

Paso 3.2.1.6.2

Combina $- 9$ y $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{2} - 16$

Paso 3.2.1.6.3

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 81}{2} - 16$

Paso 3.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} - 16$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $\frac{81}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - (\frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 16$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{81}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 16$

Paso 3.2.2.3

Escribe $- 16$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16}{1}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 81 \cdot 2 - 16 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 81$ por $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 162 - 16 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 162 - 64}{4}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $162$ de $81$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{- 81 - 64}{4}$

Paso 3.2.5.2

Resta $64$ de $- 81$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{- 145}{4}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{9}{2}) = - \frac{145}{4}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{145}{4}$ .

$- \frac{145}{4}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{9}{2}, - \frac{145}{4})$

Paso 5