Precálculo Ejemplos

$f (t) = 100 - 49 t - 7 t^{2}$

Paso 1

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $t = a t^{2} + b t + c$ ocurre en $t = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $t = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$t = - \frac{- 49}{2 (- 7)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$t = - \frac{- 49}{2 (- 7)}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $- 49$ y $- 7$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $- 7$ de $- 49$ .

$t = - \frac{- 7 (7)}{2 (- 7)}$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $- 7$ de $2 (- 7)$ .

$t = - \frac{- 7 (7)}{- 7 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$t = - \frac{- 7 \cdot 7}{- 7 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$t = - \frac{7}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{7}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $t$ con $- \frac{7}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{7}{2}) = 100 - 49 (- \frac{7}{2}) - 7 {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $- 49 (- \frac{7}{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + 49 (\frac{7}{2}) - 7 {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Combina $49$ y $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{49 \cdot 7}{2} - 7 {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica $49$ por $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2})$

Paso 3.2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}}))$

Paso 3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}}))$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.5

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 \frac{49}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 (\frac{49}{4})$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $- 7 (\frac{49}{4})$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Combina $- 7$ y $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} + \frac{- 7 \cdot 49}{4}$

Paso 3.2.1.7.2

Multiplica $- 7$ por $49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} + \frac{- 343}{4}$

Paso 3.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - \frac{343}{4}$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe $100$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100}{1} + \frac{343}{2} - \frac{343}{4}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{100}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{343}{2} - \frac{343}{4}$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{100}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4}{4} + \frac{343}{2} - \frac{343}{4}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{343}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4}{4} + \frac{343}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{343}{4}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{343}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4}{4} + \frac{343 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{343}{4}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4}{4} + \frac{343 \cdot 2}{4} - \frac{343}{4}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4 + 343 \cdot 2 - 343}{4}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $100$ por $4$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{400 + 343 \cdot 2 - 343}{4}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $343$ por $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{400 + 686 - 343}{4}$

Paso 3.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.5.1

Suma $400$ y $686$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1086 - 343}{4}$

Paso 3.2.5.2

Resta $343$ de $1086$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{743}{4}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $\frac{743}{4}$ .

$\frac{743}{4}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(- \frac{7}{2}, \frac{743}{4})$

Paso 5