Precálculo Ejemplos

$f (x) = - {(x - 5)}^{2} + 5$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$f (x) = - ((x - 5) (x - 5)) + 5$

Paso 1.2

Expande $(x - 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + 5$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + 5$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + 5$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + 5$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + 5$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$f (x) = - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + 5$

Paso 1.3.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$f (x) = - (x^{2} - 10 x + 25) + 5$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25 + 5$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25 + 5$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 25 + 5$

Paso 2

Suma $- 25$ y $5$ .

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 20$

Paso 3

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{10}{2 (- 1)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{10}{2 (- 1)}$

Paso 4.3

Simplifica $- \frac{10}{2 (- 1)}$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{5}{- 1}$ .

$x = - (- 1 \cdot 5)$

Paso 4.3.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 5)$ .

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x = - - 5$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$x = 5$

Paso 5

Evalúa $f (5)$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 10 (5) - 20$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 10 (5) - 20$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f (5) = - 25 + 10 (5) - 20$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $10$ por $5$ .

$f (5) = - 25 + 50 - 20$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 25$ y $50$ .

$f (5) = 25 - 20$

Paso 5.2.2.2

Resta $20$ de $25$ .

$f (5) = 5$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(5, 5)$

Paso 7