Precálculo Ejemplos

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Paso 1

Expande $(x + 3) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = x (x - 2) + 3 (x - 2)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 (x - 2)$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = x^{2} + x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2$

Paso 2.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = x^{2} - 2 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 2$

Paso 2.1.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f (x) = x^{2} - 2 x + 3 x - 6$

Paso 2.2

Suma $- 2 x$ y $3 x$ .

$f (x) = x^{2} + x - 6$

Paso 3

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Evalúa $f (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 6$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 6$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 6$

Paso 5.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} - 6$

Paso 5.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} - 6$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 6$

Paso 5.2.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 6$

Paso 5.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6$

Paso 5.2.3

Obtén el denominador común

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 6$

Paso 5.2.3.3

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 6 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 24}{4}$

Paso 5.2.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 24}{4}$

Paso 5.2.5.3

Resta $24$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 25}{4}$

Paso 5.2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{25}{4}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $- \frac{25}{4}$ .

$- \frac{25}{4}$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Paso 7