Precálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$

Paso 1

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}$

Paso 2

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 1}$ cuando $x = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 2.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 2.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$

Paso 2.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$	$- 16$

Paso 2.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 16)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(16)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$

Paso 2.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$	$15$

Paso 2.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(15)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$

Paso 2.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$	$0$

Paso 2.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 16 x + 15$

Paso 2.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 16 x + 15$

Paso 3

Como $- 1 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 1$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 1$

Paso 4

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 3}$ cuando $x = - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 4.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 4.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(- 12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$

Paso 4.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$	$- 24$

Paso 4.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 24)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(72)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$

Paso 4.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$	$71$

Paso 4.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(71)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(- 213)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$

Paso 4.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$	$- 198$

Paso 4.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 24 x + 71 + \frac{- 198}{x + 3}$

Paso 4.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 24 x + 71 - \frac{198}{x + 3}$

Paso 5

Como $- 3 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 3$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 3$

Paso 6

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{3}{2}}$ cuando $x = - \frac{3}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$	$- 18$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 18)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(27)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$	$26$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(26)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(- 39)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$	$- 24$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 18 x + 26 + \frac{- 24}{x + \frac{3}{2}}$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 18 x + 26 - \frac{48}{2 x + 3}$

Paso 7

Como $- \frac{3}{2} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{3}{2}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{3}{2}$

Paso 8

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 5}$ cuando $x = 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 8.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 8.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(20)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$

Paso 8.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$	$8$

Paso 8.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(8)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(40)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$

Paso 8.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$	$39$

Paso 8.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(39)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(195)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$

Paso 8.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$	$210$

Paso 8.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + 8 x + 39 + \frac{210}{x - 5}$

Paso 9

Como $5 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $5$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $5$

Paso 10

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 5}$ cuando $x = - 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 10.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 10.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 20)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$

Paso 10.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$	$- 32$

Paso 10.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 32)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(160)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$

Paso 10.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$	$159$

Paso 10.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(159)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 795)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$

Paso 10.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$	$- 780$

Paso 10.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 32 x + 159 + \frac{- 780}{x + 5}$

Paso 10.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 32 x + 159 - \frac{780}{x + 5}$

Paso 11

Como $- 5 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 5$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 5$

Paso 12

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{2}}$ cuando $x = - \frac{5}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 12.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 12.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- \frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(- 10)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$

Paso 12.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$	$- 22$

Paso 12.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 22)$ por el divisor $(- \frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(55)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$

Paso 12.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$	$54$

Paso 12.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(54)$ por el divisor $(- \frac{5}{2})$ y coloca el resultado de $(- 135)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$

Paso 12.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$	$- 120$

Paso 12.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 22 x + 54 + \frac{- 120}{x + \frac{5}{2}}$

Paso 12.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 22 x + 54 - \frac{240}{2 x + 5}$

Paso 13

Como $- \frac{5}{2} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{5}{2}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{5}{2}$

Paso 14

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{4}}$ cuando $x = - \frac{5}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 14.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 14.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- \frac{5}{4})$ y coloca el resultado de $(- 5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$

Paso 14.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$	$- 17$

Paso 14.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 17)$ por el divisor $(- \frac{5}{4})$ y coloca el resultado de $(\frac{85}{4})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$

Paso 14.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Paso 14.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(\frac{81}{4})$ por el divisor $(- \frac{5}{4})$ y coloca el resultado de $(- \frac{405}{16})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Paso 14.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$	$- \frac{165}{16}$

Paso 14.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 17 x + \frac{81}{4} + \frac{- \frac{165}{16}}{x + \frac{5}{4}}$

Paso 14.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 17 x + \frac{81}{4} - \frac{165}{4 (4 x + 5)}$

Paso 15

Como $- \frac{5}{4} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{5}{4}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{5}{4}$

Paso 16

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 15}$ cuando $x = 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 16.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 16.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(15)$ y coloca el resultado de $(60)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$

Paso 16.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$	$48$

Paso 16.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(48)$ por el divisor $(15)$ y coloca el resultado de $(720)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$

Paso 16.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$	$719$

Paso 16.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(719)$ por el divisor $(15)$ y coloca el resultado de $(10785)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$

Paso 16.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$	$10800$

Paso 16.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + 48 x + 719 + \frac{10800}{x - 15}$

Paso 17

Como $15 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $15$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $15$

Paso 18

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 15}$ cuando $x = - 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 18.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 18.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- 15)$ y coloca el resultado de $(- 60)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$

Paso 18.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$	$- 72$

Paso 18.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 72)$ por el divisor $(- 15)$ y coloca el resultado de $(1080)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$

Paso 18.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$	$1079$

Paso 18.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1079)$ por el divisor $(- 15)$ y coloca el resultado de $(- 16185)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$

Paso 18.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$	$- 16170$

Paso 18.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 72 x + 1079 + \frac{- 16170}{x + 15}$

Paso 18.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 72 x + 1079 - \frac{16170}{x + 15}$

Paso 19

Como $- 15 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 15$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 15$

Paso 20

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{2}}$ cuando $x = \frac{15}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 20.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 20.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(\frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(30)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$

Paso 20.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$	$18$

Paso 20.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(18)$ por el divisor $(\frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(135)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$

Paso 20.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$	$134$

Paso 20.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(134)$ por el divisor $(\frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(1005)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$

Paso 20.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$	$1020$

Paso 20.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{1020}{x - \frac{15}{2}}$

Paso 20.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{2040}{2 x - 15}$

Paso 21

Como $\frac{15}{2} > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $\frac{15}{2}$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $\frac{15}{2}$

Paso 22

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{2}}$ cuando $x = - \frac{15}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 22.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 22.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- \frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(- 30)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$

Paso 22.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$	$- 42$

Paso 22.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 42)$ por el divisor $(- \frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(315)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$

Paso 22.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$	$314$

Paso 22.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(314)$ por el divisor $(- \frac{15}{2})$ y coloca el resultado de $(- 2355)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$

Paso 22.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$	$- 2340$

Paso 22.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 42 x + 314 + \frac{- 2340}{x + \frac{15}{2}}$

Paso 22.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 42 x + 314 - \frac{4680}{2 x + 15}$

Paso 23

Como $- \frac{15}{2} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{15}{2}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{15}{2}$

Paso 24

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{4}}$ cuando $x = \frac{15}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 24.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 24.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 24.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(\frac{15}{4})$ y coloca el resultado de $(15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$

Paso 24.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$	$3$

Paso 24.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(\frac{15}{4})$ y coloca el resultado de $(\frac{45}{4})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$

Paso 24.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Paso 24.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(\frac{41}{4})$ por el divisor $(\frac{15}{4})$ y coloca el resultado de $(\frac{615}{16})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Paso 24.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$	$\frac{855}{16}$

Paso 24.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{\frac{855}{16}}{x - \frac{15}{4}}$

Paso 24.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{855}{4 (4 x - 15)}$

Paso 25

Como $\frac{15}{4} > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $\frac{15}{4}$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $\frac{15}{4}$

Paso 26

Aplica la regla de división sintética en $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{4}}$ cuando $x = - \frac{15}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 26.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Paso 26.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Paso 26.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(- \frac{15}{4})$ y coloca el resultado de $(- 15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$

Paso 26.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$	$- 27$

Paso 26.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 27)$ por el divisor $(- \frac{15}{4})$ y coloca el resultado de $(\frac{405}{4})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$

Paso 26.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Paso 26.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(\frac{401}{4})$ por el divisor $(- \frac{15}{4})$ y coloca el resultado de $(- \frac{6015}{16})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(15)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Paso 26.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$	$- \frac{5775}{16}$

Paso 26.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{2} + - 27 x + \frac{401}{4} + \frac{- \frac{5775}{16}}{x + \frac{15}{4}}$

Paso 26.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{2} - 27 x + \frac{401}{4} - \frac{5775}{4 (4 x + 15)}$

Paso 27

Como $- \frac{15}{4} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{15}{4}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{15}{4}$

Paso 28

Determina los límites superior e inferior.

Cotas superiores: $5, 15, \frac{15}{2}, \frac{15}{4}$

Cotas inferiores: $- 1, - 3, - \frac{3}{2}, - 5, - \frac{5}{2}, - \frac{5}{4}, - 15, - \frac{15}{2}, - \frac{15}{4}$

Paso 29