Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{x + 4}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{2}{(x + h) + 4}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{2}{x + h + 4}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{2}{x + h + 4}$ .

$\frac{2}{x + h + 4}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{2}{x + h + 4}$

$f (x) = \frac{2}{x + 4}$

$f (x + h) = \frac{2}{x + h + 4}$

$f (x) = \frac{2}{x + 4}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{x + h + 4} - (\frac{2}{x + 4})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{2}{x + h + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{\frac{2}{x + h + 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{2}{x + 4}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{2}{x + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h + 4}{x + h + 4}$ .

$\frac{\frac{2}{x + h + 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{2}{x + 4} \cdot \frac{x + h + 4}{x + h + 4}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h + 4) (x + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{2}{x + h + 4}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{\frac{2 (x + 4)}{(x + h + 4) (x + 4)} - \frac{2}{x + 4} \cdot \frac{x + h + 4}{x + h + 4}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{2}{x + 4}$ por $\frac{x + h + 4}{x + h + 4}$ .

$\frac{\frac{2 (x + 4)}{(x + h + 4) (x + 4)} - \frac{2 (x + h + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h + 4) (x + 4)$ .

$\frac{\frac{2 (x + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)} - \frac{2 (x + h + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 (x + 4) - 2 (x + h + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{2 (x + 4) - 2 (x + h + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $2$ de $2 (x + 4) - 2 (x + h + 4)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 (x + h + 4)$ .

$\frac{\frac{2 (x + 4) + 2 (- (x + h + 4))}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $2$ de $2 (x + 4) + 2 (- (x + h + 4))$ .

$\frac{\frac{2 (x + 4 - (x + h + 4))}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 (x + 4 - x - h - 1 \cdot 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{\frac{2 (x + 4 - x - h - 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{2 (0 + 4 - h - 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{\frac{2 (4 - h - 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Suma $- h$ y $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Combina exponentes.

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Paso 4.1.5.8.1

Factoriza el negativo.

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.5.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{2 h}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{2 h}{(x + 4) (x + h + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 h}{(x + 4) (x + h + 4)}$ al numerador.

$\frac{- 2 h}{(x + 4) (x + h + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 2 h$ .

$\frac{h \cdot - 2}{(x + 4) (x + h + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + 4) (x + h + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{(x + 4) (x + h + 4)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{(x + 4) (x + h + 4)}$

Paso 5