Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{5}{3 (x + h) - 1}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} - (\frac{5}{3 x - 1})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} - \frac{5}{3 x - 1}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{5}{3 x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} - \frac{5}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ por $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{5}{3 x - 1}$ por $\frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x - 1) (3 x + 3 h - 1)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(3 x - 1) (3 x + 3 h - 1)$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $5$ de $5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $5$ de $- 5 (3 x + 3 h - 1)$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1) + 5 (- (3 x + 3 h - 1))}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $5$ de $5 (3 x - 1) + 5 (- (3 x + 3 h - 1))$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - (3 x + 3 h - 1))}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - (3 x) - (3 h) - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Simplifica.

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Paso 4.1.5.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - (3 h) - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - 3 h - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{\frac{5 (0 - 1 - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{\frac{5 (- 1 - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{\frac{5 (- 3 h + 0)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Suma $- 3 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{5 \cdot - 3 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{- 15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$ al numerador.

$\frac{- 15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 15 h$ .

$\frac{h \cdot - 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$

Paso 5