Precálculo Ejemplos

$f (x) = 9 x - x^{3}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 9 (x + h) - {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.2

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Paso 2.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

Paso 2.1.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

Paso 2.1.2.1.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3}$

Paso 2.1.2.1.5

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3}$

Paso 2.2.2

Mueve $x$ .

$9 x + 9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3}$

Paso 2.2.3

Mueve $9 x$ .

$9 h - x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 9 x$

Paso 2.2.4

Mueve $9 h$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 9 h + 9 x$

Paso 2.2.5

Mueve $- x^{3}$ .

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Paso 2.2.6

Mueve $- 3 h x^{2}$ .

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Paso 2.2.7

Reordena $- 3 h^{2} x$ y $- h^{3}$ .

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

$f (x) = 9 x - x^{3}$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x$

$f (x) = 9 x - x^{3}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - (9 x - x^{3})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - (9 x) - - x^{3}}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x - - x^{3}}{h}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- - x^{3}$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x + 1 x^{3}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 9 h + 9 x - 9 x + x^{3}}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $- x^{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x + 0}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x$ y $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 9 x - 9 x}{h}$

Paso 4.1.6

Resta $9 x$ de $9 x$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h + 0}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h$ y $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Paso 4.1.8

Factoriza $h$ de $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h$ .

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Paso 4.1.8.1

Factoriza $h$ de $- h^{3}$ .

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Paso 4.1.8.2

Factoriza $h$ de $- 3 h^{2} x$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2} + 9 h}{h}$

Paso 4.1.8.3

Factoriza $h$ de $- 3 h x^{2}$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + 9 h}{h}$

Paso 4.1.8.4

Factoriza $h$ de $9 h$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Paso 4.1.8.5

Factoriza $h$ de $h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Paso 4.1.8.6

Factoriza $h$ de $h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h \cdot 9}{h}$

Paso 4.1.8.7

Factoriza $h$ de $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h \cdot 9$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9$ por $1$ .

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 9$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h$ .

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 9$

Paso 4.2.2.2

Mueve $- h^{2}$ .

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2} + 9$

Paso 4.2.2.3

Reordena $- 3 x h$ y $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2} + 9$

Paso 5