Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 3}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{(x + h) + 3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 3}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h + 3} - (\frac{x - 3}{x + 3})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 3}{x + 3}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{x - 3}{x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h + 3) (x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{x + h - 3}{x + h + 3}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{x - 3}{x + 3}$ por $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{(x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{(x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(x + h - 3) (x + 3) - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{(x + h - 3) (x + 3) - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Expande $(x + h - 3) (x + 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 3$ y $- 3 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x + 3 x + h x + h \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 3 + 0 - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Suma $x \cdot x + h x + h \cdot 3$ y $0$ .

$\frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 3 - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + h \cdot 3 - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 \cdot h - 3 \cdot 3 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.3.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - (x - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 + (- x - - 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 + (- x + 3) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Expande $(- x + 3) (x + h + 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x \cdot x - x h - x \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.7.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.7.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h - x \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h - 3 x + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.7.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h - 3 x + 3 x + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Combina los términos opuestos en $- x^{2} - x h - 3 x + 3 x + 3 h + 9$ .

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Paso 4.1.5.8.1

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h + 0 + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.8.2

Suma $- x^{2} - x h$ y $0$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x + 3 h - 9 - x^{2} - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h x + 3 h - 9 + 0 - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $h x$ y $0$ .

$\frac{\frac{h x + 3 h - 9 - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Resta $x h$ de $h x$ .

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Paso 4.1.5.11.1

Reordena $h$ y $x$ .

$\frac{\frac{3 h - 9 + x h - x h + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.11.2

Resta $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{3 h - 9 + 0 + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.12

Suma $3 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{3 h - 9 + 3 h + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.13

Suma $3 h$ y $3 h$ .

$\frac{\frac{6 h - 9 + 9}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.14

Suma $- 9$ y $9$ .

$\frac{\frac{6 h + 0}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.1.5.15

Suma $6 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $h$ de $6 h$ .

$\frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Paso 5