Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 5$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 5$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 5$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 5$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, - 5)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, - \frac{9}{2})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 2$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{11}{2}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 5)$

Foco: $(2, - \frac{9}{2})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{11}{2}$

Paso 10