Precálculo Ejemplos

$3 x - 4 y + z = 14$ , $x + y = 7$

Paso 1

Multiplica cada ecuación por el valor que hace que los coeficientes de $x$ sean opuestos.

$3 x - 4 y + z = 14$

$(- 3) \cdot (x + y) = (- 3) (7)$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = (- 3) (7)$

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = (- 3) (7)$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = - 21$

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = - 21$

$3 x - 4 y + z = 14$

$- 3 x - 3 y = - 21$

Paso 3

Suma las dos ecuaciones para eliminar $x$ del sistema.

		$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$4$
$+$	$-$	$3$	$x$	$-$	$3$	$y$			$=$	$-$	$2$	$1$
				$-$	$7$	$y$	$+$	$z$	$=$		$-$	$7$

Paso 4

Simplifica la ecuación y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$- 7 y = - 7 - z$

Paso 4.2

Divide cada término en $- 7 y = - 7 - z$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $- 7 y = - 7 - z$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- 7}{- 7} + \frac{- z}{- 7}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- 7}{- 7} + \frac{- z}{- 7}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 7} + \frac{- z}{- 7}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.1

Divide $- 7$ por $- 7$ .

$y = 1 + \frac{- z}{- 7}$

Paso 4.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = 1 + \frac{z}{7}$

Paso 5

Sustituye el valor obtenido para $y$ en una de las ecuaciones originales; luego, resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Sustituye el valor obtenido para $y$ en una de las ecuaciones originales para resolver $x$ .

$3 x - 4 (1 + \frac{z}{7}) + z = 14$

Paso 5.2

Simplifica $3 x - 4 (1 + \frac{z}{7}) + z$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 4 \cdot 1 - 4 \frac{z}{7} + z = 14$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 x - 4 - 4 \frac{z}{7} + z = 14$

Paso 5.2.1.3

Combina $- 4$ y $\frac{z}{7}$ .

$3 x - 4 + \frac{- 4 z}{7} + z = 14$

Paso 5.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 x - 4 - \frac{4 z}{7} + z = 14$

Paso 5.2.2

Para escribir $z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$3 x - 4 - \frac{4 z}{7} + z \cdot \frac{7}{7} = 14$

Paso 5.2.3

Combina $z$ y $\frac{7}{7}$ .

$3 x - 4 - \frac{4 z}{7} + \frac{z \cdot 7}{7} = 14$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x - 4 + \frac{- 4 z + z \cdot 7}{7} = 14$

Paso 5.2.5

Suma $- 4 z$ y $z \cdot 7$ .

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Paso 5.2.5.1

Reordena $z$ y $7$ .

$3 x - 4 + \frac{- 4 z + 7 \cdot z}{7} = 14$

Paso 5.2.5.2

Suma $- 4 z$ y $7 \cdot z$ .

$3 x - 4 + \frac{3 z}{7} = 14$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x + \frac{3 z}{7} = 14 + 4$

Paso 5.3.2

Resta $\frac{3 z}{7}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = 14 + 4 - \frac{3 z}{7}$

Paso 5.3.3

Suma $14$ y $4$ .

$3 x = 18 - \frac{3 z}{7}$

Paso 5.4

Divide cada término en $3 x = 18 - \frac{3 z}{7}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $3 x = 18 - \frac{3 z}{7}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- \frac{3 z}{7}}{3}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3} + \frac{- \frac{3 z}{7}}{3}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{18}{3} + \frac{- \frac{3 z}{7}}{3}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Divide $18$ por $3$ .

$x = 6 + \frac{- \frac{3 z}{7}}{3}$

Paso 5.4.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = 6 - \frac{3 z}{7} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 z}{7}$ al numerador.

$x = 6 + \frac{- 3 z}{7} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.4.3.1.3.2

Factoriza $3$ de $- 3 z$ .

$x = 6 + \frac{3 (- z)}{7} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.4.3.1.3.3

Cancela el factor común.

$x = 6 + \frac{3 (- z)}{7} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.4.3.1.3.4

Reescribe la expresión.

$x = 6 + \frac{- z}{7}$

Paso 5.4.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 6 - \frac{z}{7}$

Paso 6

Esta es la solución final al sistema de ecuaciones independientes.

$y = 1 + \frac{z}{7}$

$x = 6 - \frac{z}{7}$

		$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$4$
$+$	$-$	$3$	$x$	$-$	$3$	$y$			$=$	$-$	$2$	$1$
				$-$	$7$	$y$	$+$	$z$	$=$		$-$	$7$

		$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$4$
$+$	$-$	$3$	$x$	$-$	$3$	$y$			$=$	$-$	$2$	$1$
				$-$	$7$	$y$	$+$	$z$	$=$		$-$	$7$

		$3$	$x$	$-$	$4$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$4$
$+$	$-$	$3$	$x$	$-$	$3$	$y$			$=$	$-$	$2$	$1$
				$-$	$7$	$y$	$+$	$z$	$=$		$-$	$7$