Precálculo Ejemplos

$x + y - 3 z = - 8$ , $- x - 2 y + z = 4$ , $- x + y + 4 z = 7$

Paso 1

Elije dos ecuaciones y elimina una variable. En este caso, elimina $x$ .

$x + y - 3 z = - 8$

$- x - 2 y + z = 4$

Paso 2

Elimina $x$ del sistema.

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Paso 2.1

Suma las dos ecuaciones para eliminar $x$ del sistema.

		$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
$+$	$-$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$		$z$	$=$		$4$
				$-$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$

Paso 2.2

La ecuación resultante elimina $x$ .

$- y - 2 z = - 4$

Paso 3

Elije otras dos ecuaciones y elimina $x$ .

$- x - 2 y + z = 4$

$- x + y + 4 z = 7$

Paso 4

Elimina $x$ del sistema.

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Paso 4.1

Multiplica cada ecuación por el valor que hace que los coeficientes de $x$ sean opuestos.

$- x - 2 y + z = 4$

$(- 1) \cdot (- x + y + 4 z) = (- 1) (7)$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Simplifica $(- 1) \cdot (- x + y + 4 z)$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x - 2 y + z = 4$

$- 1 (- x) - 1 y - 1 (4 z) = (- 1) (7)$

Paso 4.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1 (- x)$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x - 2 y + z = 4$

$1 x - 1 y - 1 (4 z) = (- 1) (7)$

Paso 4.2.1.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- x - 2 y + z = 4$

$x - 1 y - 1 (4 z) = (- 1) (7)$

$- x - 2 y + z = 4$

$x - 1 y - 1 (4 z) = (- 1) (7)$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$- x - 2 y + z = 4$

$x - y - 1 (4 z) = (- 1) (7)$

Paso 4.2.1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- x - 2 y + z = 4$

$x - y - 4 z = (- 1) (7)$

$- x - 2 y + z = 4$

$x - y - 4 z = (- 1) (7)$

$- x - 2 y + z = 4$

$x - y - 4 z = (- 1) (7)$

$- x - 2 y + z = 4$

$x - y - 4 z = (- 1) (7)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$- x - 2 y + z = 4$

$x - y - 4 z = - 7$

$- x - 2 y + z = 4$

$x - y - 4 z = - 7$

$- x - 2 y + z = 4$

$x - y - 4 z = - 7$

Paso 4.3

Suma las dos ecuaciones para eliminar $x$ del sistema.

	$-$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$		$z$	$=$		$4$
$+$		$x$		$-$	$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$7$
			$-$	$3$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$3$

Paso 4.4

La ecuación resultante elimina $x$ .

$- 3 y - 3 z = - 3$

Paso 5

Resta las ecuaciones resultantes y elimina otra variable. En este caso, elimina $y$ .

$- y - 2 z = - 4$

$- 3 y - 3 z = - 3$

Paso 6

Elimina $y$ del sistema.

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Paso 6.1

Multiplica cada ecuación por el valor que hace que los coeficientes de $y$ sean opuestos.

$(- 3) \cdot (- y - 2 z) = (- 3) (- 4)$

$- 3 y - 3 z = - 3$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica $(- 3) \cdot (- y - 2 z)$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (- y) - 3 (- 2 z) = (- 3) (- 4)$

$- 3 y - 3 z = - 3$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica.

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Paso 6.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$3 y - 3 (- 2 z) = (- 3) (- 4)$

$- 3 y - 3 z = - 3$

Paso 6.2.1.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$3 y + 6 z = (- 3) (- 4)$

$- 3 y - 3 z = - 3$

$3 y + 6 z = (- 3) (- 4)$

$- 3 y - 3 z = - 3$

$3 y + 6 z = (- 3) (- 4)$

$- 3 y - 3 z = - 3$

$3 y + 6 z = (- 3) (- 4)$

$- 3 y - 3 z = - 3$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$3 y + 6 z = 12$

$- 3 y - 3 z = - 3$

$3 y + 6 z = 12$

$- 3 y - 3 z = - 3$

$3 y + 6 z = 12$

$- 3 y - 3 z = - 3$

Paso 6.3

Suma las dos ecuaciones para eliminar $y$ del sistema.

		$3$	$y$	$+$	$6$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$	$-$	$3$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$3$
					$3$	$z$	$=$		$9$

Paso 6.4

La ecuación resultante elimina $y$ .

$3 z = 9$

Paso 6.5

Divide cada término en $3 z = 9$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.5.1

Divide cada término en $3 z = 9$ por $3$ .

$\frac{3 z}{3} = \frac{9}{3}$

Paso 6.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 z}{3} = \frac{9}{3}$

Paso 6.5.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{9}{3}$

Paso 6.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.3.1

Divide $9$ por $3$ .

$z = 3$

Paso 7

Sustituye el valor de $z$ en una ecuación de la que ya se eliminó $x$ y resuelve la variable restante.

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Paso 7.1

Sustituye el valor de $z$ en una ecuación de la que ya se eliminó $x$ .

$- y - 2 \cdot 3 = - 4$

Paso 7.2

Resuelve $y$

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- y - 6 = - 4$

Paso 7.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.2.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$- y = - 4 + 6$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 4$ y $6$ .

$- y = 2$

Paso 7.2.3

Divide cada término en $- y = 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Divide cada término en $- y = 2$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 7.2.3.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{- 1}$

Paso 7.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$y = - 2$

Paso 8

Sustituye el valor de cada variable conocida en una de las ecuaciones iniciales y resuelve la última variable.

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Paso 8.1

Sustituye el valor de cada variable conocida en una de las ecuaciones iniciales.

$x - 2 - 3 \cdot 3 = - 8$

Paso 8.2

Resuelve $x$

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Paso 8.2.1

Simplifica $x - 2 - 3 \cdot 3$ .

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$x - 2 - 9 = - 8$

Paso 8.2.1.2

Resta $9$ de $- 2$ .

$x - 11 = - 8$

Paso 8.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.2.1

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 8 + 11$

Paso 8.2.2.2

Suma $- 8$ y $11$ .

$x = 3$

Paso 9

La solución al sistema de ecuaciones puede representarse como un punto.

$(3, - 2, 3)$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(3, - 2, 3)$

Forma de la ecuación:

$x = 3, y = - 2, z = 3$

		$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
$+$	$-$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$		$z$	$=$		$4$
				$-$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$

	$-$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$		$z$	$=$		$4$
$+$		$x$		$-$	$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$7$
			$-$	$3$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$3$

		$3$	$y$	$+$	$6$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$	$-$	$3$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$3$
					$3$	$z$	$=$		$9$

		$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
$+$	$-$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$		$z$	$=$		$4$
				$-$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$

	$-$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$		$z$	$=$		$4$
$+$		$x$		$-$	$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$7$
			$-$	$3$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$3$

		$3$	$y$	$+$	$6$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$	$-$	$3$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$3$
					$3$	$z$	$=$		$9$

		$x$	$+$		$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$8$
$+$	$-$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$		$z$	$=$		$4$
				$-$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$4$

	$-$	$x$	$-$	$2$	$y$	$+$		$z$	$=$		$4$
$+$		$x$		$-$	$y$	$-$	$4$	$z$	$=$	$-$	$7$
			$-$	$3$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$3$

		$3$	$y$	$+$	$6$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$	$-$	$3$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$3$
					$3$	$z$	$=$		$9$