Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 2 y^{2} = 324$ , $x + y = 18$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 18 - y$

$x^{2} + 2 y^{2} = 324$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $18 - y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + 2 y^{2} = 324$ por $18 - y$ .

${(18 - y)}^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(18 - y)}^{2} + 2 y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(18 - y)}^{2}$ como $(18 - y) (18 - y)$ .

$(18 - y) (18 - y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(18 - y) (18 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$18 (18 - y) - y (18 - y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$18 \cdot 18 + 18 (- y) - y (18 - y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$18 \cdot 18 + 18 (- y) - y \cdot 18 - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$18 \cdot 18 + 18 (- y) - y \cdot 18 - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $18$ por $18$ .

$324 + 18 (- y) - y \cdot 18 - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $18$ .

$324 - 18 y - y \cdot 18 - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $18$ por $- 1$ .

$324 - 18 y - 18 y - y (- y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$324 - 18 y - 18 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$324 - 18 y - 18 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$324 - 18 y - 18 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 18 y - 18 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$324 - 18 y - 18 y + 1 y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$324 - 18 y - 18 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 18 y - 18 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Resta $18 y$ de $- 18 y$ .

$324 - 36 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + y^{2} + 2 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 2.2.1.2

Suma $y^{2}$ y $2 y^{2}$ .

$324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

$324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$

$x = 18 - y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $324 - 36 y + 3 y^{2} = 324$ .

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Paso 3.1

Resta $324$ de ambos lados de la ecuación.

$324 - 36 y + 3 y^{2} - 324 = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.2

Combina los términos opuestos en $324 - 36 y + 3 y^{2} - 324$ .

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Paso 3.2.1

Resta $324$ de $324$ .

$- 36 y + 3 y^{2} + 0 = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.2.2

Suma $- 36 y + 3 y^{2}$ y $0$ .

$- 36 y + 3 y^{2} = 0$

$x = 18 - y$

$- 36 y + 3 y^{2} = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.3

Factoriza $- 3 y$ de $- 36 y + 3 y^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Reordena $- 36 y$ y $3 y^{2}$ .

$3 y^{2} - 36 y = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.3.2

Factoriza $- 3 y$ de $3 y^{2}$ .

$- 3 y (- y) - 36 y = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.3.3

Factoriza $- 3 y$ de $- 36 y$ .

$- 3 y (- y) - 3 y \cdot 12 = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.3.4

Factoriza $- 3 y$ de $- 3 y (- y) - 3 y (12)$ .

$- 3 y (- y + 12) = 0$

$x = 18 - y$

$- 3 y (- y + 12) = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y = 0$

$- y + 12 = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.5

Establece $y$ igual a $0$ .

$y = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.6

Establece $- y + 12$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $- y + 12$ igual a $0$ .

$- y + 12 = 0$

$x = 18 - y$

Paso 3.6.2

Resuelve $- y + 12 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.6.2.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = - 12$

$x = 18 - y$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $- y = - 12$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $- y = - 12$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 12}{- 1}$

$x = 18 - y$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 12}{- 1}$

$x = 18 - y$

Paso 3.6.2.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 12}{- 1}$

$x = 18 - y$

$y = \frac{- 12}{- 1}$

$x = 18 - y$

Paso 3.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.2.3.1

Divide $- 12$ por $- 1$ .

$y = 12$

$x = 18 - y$

$y = 12$

$x = 18 - y$

$y = 12$

$x = 18 - y$

$y = 12$

$x = 18 - y$

$y = 12$

$x = 18 - y$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 3 y (- y + 12) = 0$ verdadera.

$y = 0, 12$

$x = 18 - y$

$y = 0, 12$

$x = 18 - y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 18 - y$ por $0$ .

$x = 18 - (0)$

$y = 0$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Resta $0$ de $18$ .

$x = 18$

$y = 0$

$x = 18$

$y = 0$

$x = 18$

$y = 0$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $12$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 18 - y$ por $12$ .

$x = 18 - (12)$

$y = 12$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $18 - (12)$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$x = 18 - 12$

$y = 12$

Paso 5.2.1.2

Resta $12$ de $18$ .

$x = 6$

$y = 12$

$x = 6$

$y = 12$

$x = 6$

$y = 12$

$x = 6$

$y = 12$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(18, 0)$

$(6, 12)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(18, 0), (6, 12)$

Forma de la ecuación:

$x = 18, y = 0$

$x = 6, y = 12$

Paso 8