Precálculo Ejemplos

$x y = 8$ , $x^{2} + y^{2} = 20$

Paso 1

Divide cada término en $x y = 8$ por $y$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x y = 8$ por $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{8}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 20$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{y} = \frac{8}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 20$

Paso 1.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 20$

$x = \frac{8}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 20$

$x = \frac{8}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 20$

$x = \frac{8}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 20$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{8}{y}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + y^{2} = 20$ por $\frac{8}{y}$ .

${(\frac{8}{y})}^{2} + y^{2} = 20$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{y}$ .

$\frac{8^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 20$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 2.2.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{64}{y^{2}} + y^{2} = 20$

$x = \frac{8}{y}$

$\frac{64}{y^{2}} + y^{2} = 20$

$x = \frac{8}{y}$

$\frac{64}{y^{2}} + y^{2} = 20$

$x = \frac{8}{y}$

$\frac{64}{y^{2}} + y^{2} = 20$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{64}{y^{2}} + y^{2} = 20$ .

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{64}{y^{2}} + y^{2} = 20$ por $y^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{64}{y^{2}} + y^{2} = 20$ por $y^{2}$ .

$\frac{64}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{64}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$64 + y^{2} y^{2} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

$64 + y^{2} y^{2} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$64 + y^{2 + 2} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$64 + y^{4} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

$64 + y^{4} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

$64 + y^{4} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

$64 + y^{4} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

$64 + y^{4} = 20 y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $20 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$64 + y^{4} - 20 y^{2} = 0$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.2

Sustituye $u = y^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.3

Factoriza $u^{2} - 20 u + 64$ con el método AC.

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Paso 3.3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $64$ y cuya suma es $- 20$ .

$- 16, - 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

$x = \frac{8}{y}$

$(u - 16) (u - 4) = 0$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 4 = 0$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.5

Establece $u - 16$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.3.5.1

Establece $u - 16$ igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.5.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 16$

$x = \frac{8}{y}$

$u = 16$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.6

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.3.6.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

$x = \frac{8}{y}$

$u = 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 16) (u - 4) = 0$ verdadera.

$u = 16, 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.8

Sustituye el valor real de $u = y^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$y^{2} = 16$

$y^{2} = 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.9

Resuelve la primera ecuación para $y$ .

$y^{2} = 16$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.10

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 3.3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.10.2

Simplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Paso 3.3.10.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2}}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.10.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 4$

$x = \frac{8}{y}$

$y = \pm 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 4, - 4$

$x = \frac{8}{y}$

$y = 4, - 4$

$x = \frac{8}{y}$

$y = 4, - 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.11

Resuelve la segunda ecuación para $y$ .

$y^{2} = 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.12

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 3.3.12.1

Elimina los paréntesis.

$y^{2} = 4$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.12.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 3.3.12.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.12.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 2$

$x = \frac{8}{y}$

$y = \pm 2$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = 2$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - 2$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 2, - 2$

$x = \frac{8}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{8}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 3.3.13

La solución a $y^{4} - 20 y^{2} + 64 = 0$ es $y = 4, - 4, 2, - 2$ .

$y = 4, - 4, 2, - 2$

$x = \frac{8}{y}$

$y = 4, - 4, 2, - 2$

$x = \frac{8}{y}$

$y = 4, - 4, 2, - 2$

$x = \frac{8}{y}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{y}$ por $4$ .

$x = \frac{8}{4}$

$y = 4$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Divide $8$ por $4$ .

$x = 2$

$y = 4$

$x = 2$

$y = 4$

$x = 2$

$y = 4$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{y}$ por $- 4$ .

$x = \frac{8}{- 4}$

$y = - 4$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Divide $8$ por $- 4$ .

$x = - 2$

$y = - 4$

$x = - 2$

$y = - 4$

$x = - 2$

$y = - 4$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $y$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{y}$ por $4$ .

$x = \frac{8}{4}$

$y = 4$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Divide $8$ por $4$ .

$x = 2$

$y = 4$

$x = 2$

$y = 4$

$x = 2$

$y = 4$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{y}$ por $- 4$ .

$x = \frac{8}{- 4}$

$y = - 4$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Divide $8$ por $- 4$ .

$x = - 2$

$y = - 4$

$x = - 2$

$y = - 4$

$x = - 2$

$y = - 4$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $y$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{y}$ por $2$ .

$x = \frac{8}{2}$

$y = 2$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

Divide $8$ por $2$ .

$x = 4$

$y = 2$

$x = 4$

$y = 2$

$x = 4$

$y = 2$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $y$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 9.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{y}$ por $4$ .

$x = \frac{8}{4}$

$y = 4$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Divide $8$ por $4$ .

$x = 2$

$y = 4$

$x = 2$

$y = 4$

$x = 2$

$y = 4$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{y}$ por $- 4$ .

$x = \frac{8}{- 4}$

$y = - 4$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

Divide $8$ por $- 4$ .

$x = - 2$

$y = - 4$

$x = - 2$

$y = - 4$

$x = - 2$

$y = - 4$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $y$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{y}$ por $2$ .

$x = \frac{8}{2}$

$y = 2$

Paso 11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.1

Divide $8$ por $2$ .

$x = 4$

$y = 2$

$x = 4$

$y = 2$

$x = 4$

$y = 2$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{y}$ por $- 2$ .

$x = \frac{8}{- 2}$

$y = - 2$

Paso 12.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.1

Divide $8$ por $- 2$ .

$x = - 4$

$y = - 2$

$x = - 4$

$y = - 2$

$x = - 4$

$y = - 2$

Paso 13

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 4)$

$(- 2, - 4)$

$(4, 2)$

$(- 4, - 2)$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(2, 4), (- 2, - 4), (4, 2), (- 4, - 2)$

Forma de la ecuación:

$x = 2, y = 4$

$x = - 2, y = - 4$

$x = 4, y = 2$

$x = - 4, y = - 2$

Paso 15