Precálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 13$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Paso 1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $x^{2} - 13$ en cada ecuación.

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Paso 1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} = 25$ por $x^{2} - 13$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2} = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Simplifica $x^{2} + {(x^{2} - 13)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x^{2} - 13)}^{2}$ como $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ .

$x^{2} + (x^{2} - 13) (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x^{2} - 13) (x^{2} - 13)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 13) - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 (x^{2} - 13) = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2.1.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 13 - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 13$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 \cdot x^{2} - 13 x^{2} - 13 \cdot - 13 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 13$ por $- 13$ .

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $13 x^{2}$ de $- 13 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{2} + x^{4} - 26 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 1.2.1.2

Resta $26 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

$x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2

Resuelve $x$ en $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ .

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Paso 2.1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 25 u + 169 = 25$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.2

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 25 u + 169 - 25 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.3

Resta $25$ de $169$ .

$u^{2} - 25 u + 144 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.4

Factoriza $u^{2} - 25 u + 144$ con el método AC.

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Paso 2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $144$ y cuya suma es $- 25$ .

$- 16, - 9$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

$(u - 16) (u - 9) = 0$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.6

Establece $u - 16$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.6.1

Establece $u - 16$ igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.6.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

$u = 16$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.7

Establece $u - 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.7.1

Establece $u - 9$ igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.7.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

$u = 9$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 16) (u - 9) = 0$ verdadera.

$u = 16, 9$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.9

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 16$

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.10

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.11.2

Simplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Paso 2.11.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.11.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.11.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.11.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.11.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.12

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.13

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.13.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 9$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.13.3

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 2.13.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.13.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = \pm 3$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.13.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.13.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.13.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.13.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Paso 2.14

La solución a $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 25$ es $x = 4, - 4, 3, - 3$ .

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

$x = 4, - 4, 3, - 3$

$y = x^{2} - 13$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 13$ por $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(4)}^{2} - 13$ .

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Paso 3.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Paso 3.2.1.2

Resta $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 13$ por $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${(- 4)}^{2} - 13$ .

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Paso 4.2.1.2

Resta $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $x$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 13$ por $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(4)}^{2} - 13$ .

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Paso 5.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Paso 5.2.1.2

Resta $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 13$ por $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(- 4)}^{2} - 13$ .

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Paso 6.2.1.2

Resta $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $x$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 13$ por $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica ${(3)}^{2} - 13$ .

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Paso 7.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Paso 7.2.1.2

Resta $13$ de $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $x$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 13$ por $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 13$

$x = 4$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

Simplifica ${(4)}^{2} - 13$ .

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Paso 8.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = 4$

Paso 8.2.1.2

Resta $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

$y = 3$

$x = 4$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 9.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 13$ por $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 13$

$x = - 4$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Simplifica ${(- 4)}^{2} - 13$ .

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Paso 9.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 - 13$

$x = - 4$

Paso 9.2.1.2

Resta $13$ de $16$ .

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

$y = 3$

$x = - 4$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $x$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 13$ por $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 13$

$x = 3$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

Simplifica ${(3)}^{2} - 13$ .

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Paso 10.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = 3$

Paso 10.2.1.2

Resta $13$ de $9$ .

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 13$ por $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{2} - 13$

$x = - 3$

Paso 11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.1

Simplifica ${(- 3)}^{2} - 13$ .

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Paso 11.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$y = 9 - 13$

$x = - 3$

Paso 11.2.1.2

Resta $13$ de $9$ .

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

Paso 12

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, 3)$

$(- 4, 3)$

$(3, - 4)$

$(- 3, - 4)$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(4, 3), (- 4, 3), (3, - 4), (- 3, - 4)$

Forma de la ecuación:

$x = 4, y = 3$

$x = - 4, y = 3$

$x = 3, y = - 4$

$x = - 3, y = - 4$

Paso 14