Precálculo Ejemplos

$x + y + 1 = 0$ , $x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 1 = - y$

$x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$

Paso 1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - y - 1$

$x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$

$x = - y - 1$

$x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- y - 1$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + y^{2} + 6 y - x = - 5$ por $- y - 1$ .

${(- y - 1)}^{2} + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(- y - 1)}^{2} + y^{2} + 6 y - (- y - 1)$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(- y - 1)}^{2}$ como $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(- y - 1) (- y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1 (- y)$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.1.6.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + y + y + 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.3.2

Suma $y$ y $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y - (- y - 1) = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.5

Multiplica $- - y$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + 1 y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.5.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $y^{2}$ y $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 2 y + 1 + 6 y + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $2 y$ y $6 y$ .

$2 y^{2} + 8 y + 1 + y + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.2.3

Suma $8 y$ y $y$ .

$2 y^{2} + 9 y + 1 + 1 = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 2.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$

$x = - y - 1$

Paso 3

Resuelve $y$ en $2 y^{2} + 9 y + 2 = - 5$ .

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Paso 3.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} + 9 y + 2 + 5 = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.2

Suma $2$ y $5$ .

$2 y^{2} + 9 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ y cuya suma es $b = 9$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $9$ de $9 y$ .

$2 y^{2} + 9 (y) + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.3.1.2

Reescribe $9$ como $2$ más $7$

$2 y^{2} + (2 + 7) y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} + 2 y + 7 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

$2 y^{2} + 2 y + 7 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 y^{2} + 2 y) + 7 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 y (y + 1) + 7 (y + 1) = 0$

$x = - y - 1$

$2 y (y + 1) + 7 (y + 1) = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y + 1$ .

$(y + 1) (2 y + 7) = 0$

$x = - y - 1$

$(y + 1) (2 y + 7) = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$2 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.5

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

$x = - y - 1$

$y = - 1$

$x = - y - 1$

Paso 3.6

Establece $2 y + 7$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $2 y + 7$ igual a $0$ .

$2 y + 7 = 0$

$x = - y - 1$

Paso 3.6.2

Resuelve $2 y + 7 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.6.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = - 7$

$x = - y - 1$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $2 y = - 7$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $2 y = - 7$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = \frac{- 7}{2}$

$x = - y - 1$

Paso 3.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y + 1) (2 y + 7) = 0$ verdadera.

$y = - 1, - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

$y = - 1, - \frac{7}{2}$

$x = - y - 1$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - y - 1$ por $- 1$ .

$x = - (- 1) - 1$

$y = - 1$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- (- 1) - 1$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 - 1$

$y = - 1$

Paso 4.2.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

$x = 0$

$y = - 1$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{7}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - y - 1$ por $- \frac{7}{2}$ .

$x = - (- \frac{7}{2}) - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- (- \frac{7}{2}) - 1$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- (- \frac{7}{2})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{7}{2}) - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{7}{2} - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{2} - 1$

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 5.2.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 5.2.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 5.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 - 1 \cdot 2}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 5.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{7 - 2}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 5.2.1.5.2

Resta $2$ de $7$ .

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{5}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, - 1)$

$(\frac{5}{2}, - \frac{7}{2})$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(0, - 1), (\frac{5}{2}, - \frac{7}{2})$

Forma de la ecuación:

$x = 0, y = - 1$

$x = \frac{5}{2}, y = - \frac{7}{2}$

Paso 8