Precálculo Ejemplos

$x + y = 7$ , $x^{2} + 3 y^{2} = 79$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 7 - y$

$x^{2} + 3 y^{2} = 79$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $7 - y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + 3 y^{2} = 79$ por $7 - y$ .

${(7 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(7 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(7 - y)}^{2}$ como $(7 - y) (7 - y)$ .

$(7 - y) (7 - y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(7 - y) (7 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (7 - y) - y (7 - y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \cdot 7 + 7 (- y) - y (7 - y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \cdot 7 + 7 (- y) - y \cdot 7 - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$7 \cdot 7 + 7 (- y) - y \cdot 7 - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$49 + 7 (- y) - y \cdot 7 - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$49 - 7 y - y \cdot 7 - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$49 - 7 y - 7 y - y (- y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$49 - 7 y - 7 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$49 - 7 y - 7 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$49 - 7 y - 7 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 7 y - 7 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$49 - 7 y - 7 y + 1 y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$49 - 7 y - 7 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 7 y - 7 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Resta $7 y$ de $- 7 y$ .

$49 - 14 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + y^{2} + 3 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 2.2.1.2

Suma $y^{2}$ y $3 y^{2}$ .

$49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

$49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$

$x = 7 - y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $49 - 14 y + 4 y^{2} = 79$ .

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Paso 3.1

Resta $79$ de ambos lados de la ecuación.

$49 - 14 y + 4 y^{2} - 79 = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.2

Resta $79$ de $49$ .

$- 14 y + 4 y^{2} - 30 = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $- 14 y + 4 y^{2} - 30$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 14 y$ .

$2 (- 7 y) + 4 y^{2} - 30 = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $2$ de $4 y^{2}$ .

$2 (- 7 y) + 2 (2 y^{2}) - 30 = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $2$ de $- 30$ .

$2 (- 7 y) + 2 (2 y^{2}) + 2 (- 15) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- 7 y) + 2 (2 y^{2})$ .

$2 (- 7 y + 2 y^{2}) + 2 (- 15) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- 7 y + 2 y^{2}) + 2 (- 15)$ .

$2 (- 7 y + 2 y^{2} - 15) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (- 7 y + 2 y^{2} - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.2

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$2 (- 7 u + 2 u^{2} - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$2 (2 u^{2} - 7 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.3.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 u$ .

$2 (2 u^{2} - 7 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.3.2.2

Reescribe $- 7$ como $3$ más $- 10$

$2 (2 u^{2} + (3 - 10) u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 u^{2} + 3 u - 10 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (2 u^{2} + 3 u - 10 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 ((2 u^{2} + 3 u) - 10 u - 15) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (u (2 u + 3) - 5 (2 u + 3)) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (u (2 u + 3) - 5 (2 u + 3)) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 3$ .

$2 ((2 u + 3) (u - 5)) = 0$

$x = 7 - y$

$2 ((2 u + 3) (u - 5)) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.4

Factoriza.

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Paso 3.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 ((2 y + 3) (y - 5)) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 y + 3) (y - 5) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (2 y + 3) (y - 5) = 0$

$x = 7 - y$

$2 (2 y + 3) (y - 5) = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 y + 3 = 0$

$y - 5 = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.5

Establece $2 y + 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 y + 3$ igual a $0$ .

$2 y + 3 = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 y + 3 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = - 3$

$x = 7 - y$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 y = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 y = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = \frac{- 3}{2}$

$x = 7 - y$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 - y$

Paso 3.6

Establece $y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $y - 5$ igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

$x = 7 - y$

Paso 3.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5$

$x = 7 - y$

$y = 5$

$x = 7 - y$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 y + 3) (y - 5) = 0$ verdadera.

$y = - \frac{3}{2}, 5$

$x = 7 - y$

$y = - \frac{3}{2}, 5$

$x = 7 - y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{3}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 7 - y$ por $- \frac{3}{2}$ .

$x = 7 - (- \frac{3}{2})$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $7 - (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 7 + 1 (\frac{3}{2})$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$x = 7 + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = 7 + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 4.2.1.3

Combina $7$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 \cdot 2 + 3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$x = \frac{14 + 3}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 4.2.1.5.2

Suma $14$ y $3$ .

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{17}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $5$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 7 - y$ por $5$ .

$x = 7 - (5)$

$y = 5$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $7 - (5)$ .

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x = 7 - 5$

$y = 5$

Paso 5.2.1.2

Resta $5$ de $7$ .

$x = 2$

$y = 5$

$x = 2$

$y = 5$

$x = 2$

$y = 5$

$x = 2$

$y = 5$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{17}{2}, - \frac{3}{2})$

$(2, 5)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{17}{2}, - \frac{3}{2}), (2, 5)$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{17}{2}, y = - \frac{3}{2}$

$x = 2, y = 5$

Paso 8