Precálculo Ejemplos

$y = \sqrt{144 - x^{2}}$ , $y = 16 - x$

Paso 1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$

Paso 2

Resuelve $\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$ en $x$ .

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Paso 2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{144 - x^{2}}}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{144 - x^{2}}$ como ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(144 - x^{2})}^{1} = {(16 - x)}^{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica.

$144 - x^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica ${(16 - x)}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Reescribe ${(16 - x)}^{2}$ como $(16 - x) (16 - x)$ .

$144 - x^{2} = (16 - x) (16 - x)$

Paso 2.2.3.1.2

Expande $(16 - x) (16 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$144 - x^{2} = 16 (16 - x) - x (16 - x)$

Paso 2.2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)$

Paso 2.2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Paso 2.2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.3.1.1

Multiplica $16$ por $16$ .

$144 - x^{2} = 256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Paso 2.2.3.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)$

Paso 2.2.3.1.3.1.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - x (- x)$

Paso 2.2.3.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Paso 2.2.3.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Paso 2.2.3.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Paso 2.2.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}$

Paso 2.2.3.1.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + x^{2}$

Paso 2.2.3.1.3.2

Resta $16 x$ de $- 16 x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 32 x + x^{2}$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$256 - 32 x + x^{2} = 144 - x^{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$256 - 32 x + x^{2} + x^{2} = 144$

Paso 2.3.2.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$256 - 32 x + 2 x^{2} = 144$

Paso 2.3.3

Resta $144$ de ambos lados de la ecuación.

$256 - 32 x + 2 x^{2} - 144 = 0$

Paso 2.3.4

Resta $144$ de $256$ .

$- 32 x + 2 x^{2} + 112 = 0$

Paso 2.3.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.5.1

Factoriza $2$ de $- 32 x + 2 x^{2} + 112$ .

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Paso 2.3.5.1.1

Factoriza $2$ de $- 32 x$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 112 = 0$

Paso 2.3.5.1.2

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x) + 2 (x^{2}) + 112 = 0$

Paso 2.3.5.1.3

Factoriza $2$ de $112$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 56 = 0$

Paso 2.3.5.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- 16 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56 = 0$

Paso 2.3.5.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56$ .

$2 (- 16 x + x^{2} + 56) = 0$

Paso 2.3.5.2

Reordena los términos.

$2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$

Paso 2.3.6

Divide cada término en $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Divide cada término en $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.6.2.1.2

Divide $x^{2} - 16 x + 56$ por $1$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.6.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = 0$

Paso 2.3.7

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 16 - x$

Paso 2.3.8

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 16$ y $c = 56$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 56)}}{2 \cdot 1} + y = 16 - x$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.9.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

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Paso 2.3.9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.9.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.9.1.3

Resta $224$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.9.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.9.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.9.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.9.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.9.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 2.3.10

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.10.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.10.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

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Paso 2.3.10.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.10.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.10.1.3

Resta $224$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.10.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.10.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.10.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.10.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.10.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 2.3.10.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 8 + 2 \sqrt{2}$

Paso 2.3.11

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.11.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.11.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

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Paso 2.3.11.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.11.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.11.1.3

Resta $224$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.11.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.11.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.11.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.11.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.11.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.11.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 2.3.11.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 8 - 2 \sqrt{2}$

Paso 2.3.12

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}$

Paso 3

Evalúa $y$ cuando $x = 8 + 2 \sqrt{2}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $8 + 2 \sqrt{2}$ por $x$ .

$y = 16 - (8 + 2 \sqrt{2})$

Paso 3.2

Simplifica $16 - (8 + 2 \sqrt{2})$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (2 \sqrt{2})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$y = 16 - 8 - (2 \sqrt{2})$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = 16 - 8 - 2 \sqrt{2}$

Paso 3.2.2

Resta $8$ de $16$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{2}$

Paso 4

Evalúa $y$ cuando $x = 8 - 2 \sqrt{2}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $8 - 2 \sqrt{2}$ por $x$ .

$y = 16 - (8 - 2 \sqrt{2})$

Paso 4.2

Simplifica $16 - (8 - 2 \sqrt{2})$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$y = 16 - 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = 16 - 8 + 2 \sqrt{2}$

Paso 4.2.2

Resta $8$ de $16$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2})$

$(8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}), (8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Forma de la ecuación:

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, y = 8 - 2 \sqrt{2}$

$x = 8 - 2 \sqrt{2}, y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Paso 7