Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ , $y^{2} - x^{2} - 9 = 0$

Paso 1

Resuelve $y$ en $y^{2} - x^{2} - 9 = 0$ .

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 9 = x^{2}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Paso 1.1.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = x^{2} + 9$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

$y^{2} = x^{2} + 9$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Paso 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Paso 1.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Paso 1.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Paso 1.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$

Paso 2

Resuelve el sistema $y = \sqrt{x^{2} + 9}, x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ .

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\sqrt{x^{2} + 9}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ por $\sqrt{x^{2} + 9}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica $x^{2} + {(\sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 9}}^{2}$ como $x^{2} + 9$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 9}$ como ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.1.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.1.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.1.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.1.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.1.2.1.1.5

Simplifica.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.1.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1.2.1.2.1

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 9 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.1.2.1.2.2

Suma $9$ y $39$ .

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 - 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = - 4, 0, 4$

$y = \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ por $- 4$ .

$y = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$

$x = - 4$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica $\sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

$x = - 4$

Paso 2.3.2.1.2

Suma $16$ y $9$ .

$y = \sqrt{25}$

$x = - 4$

Paso 2.3.2.1.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

$x = - 4$

Paso 2.3.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

Paso 2.4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 2.4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ por $0$ .

$y = \sqrt{{(0)}^{2} + 9}$

$x = 0$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica $\sqrt{{(0)}^{2} + 9}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \sqrt{0 + 9}$

$x = 0$

Paso 2.4.2.1.2

Suma $0$ y $9$ .

$y = \sqrt{9}$

$x = 0$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

$x = 0$

Paso 2.4.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

Paso 2.5

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 2.5.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ por $- 4$ .

$y = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$

$x = - 4$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica $\sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

$x = - 4$

Paso 2.5.2.1.2

Suma $16$ y $9$ .

$y = \sqrt{25}$

$x = - 4$

Paso 2.5.2.1.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

$x = - 4$

Paso 2.5.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

$y = 5$

$x = - 4$

Paso 2.6

Reemplaza todos los casos de $x$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 2.6.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ por $0$ .

$y = \sqrt{{(0)}^{2} + 9}$

$x = 0$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica $\sqrt{{(0)}^{2} + 9}$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \sqrt{0 + 9}$

$x = 0$

Paso 2.6.2.1.2

Suma $0$ y $9$ .

$y = \sqrt{9}$

$x = 0$

Paso 2.6.2.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

$x = 0$

Paso 2.6.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

$y = 3$

$x = 0$

Paso 2.7

Reemplaza todos los casos de $x$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 2.7.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = \sqrt{x^{2} + 9}$ por $4$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

$x = 4$

Paso 2.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.2.1

Simplifica $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

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Paso 2.7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

$x = 4$

Paso 2.7.2.1.2

Suma $16$ y $9$ .

$y = \sqrt{25}$

$x = 4$

Paso 2.7.2.1.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

$x = 4$

Paso 2.7.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

$y = 5$

$x = 4$

Paso 3

Resuelve el sistema $y = - \sqrt{x^{2} + 9}, x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ .

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \sqrt{x^{2} + 9}$ en cada ecuación.

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Paso 3.1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} - 16 y + 39 = 0$ por $- \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica $x^{2} + {(- \sqrt{x^{2} + 9})}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 1 {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.1.3

Multiplica ${\sqrt{x^{2} + 9}}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.1.4

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 9}}^{2}$ como $x^{2} + 9$ .

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Paso 3.1.2.1.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 9}$ como ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.1.4.5

Simplifica.

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 - 16 (- \sqrt{x^{2} + 9}) + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$x^{2} + x^{2} + 9 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$x^{2} + x^{2} + 9 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1.2.1.2.1

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 9 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} + 39 = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.1.2.1.2.2

Suma $9$ y $39$ .

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

$2 x^{2} + 48 + 16 \sqrt{x^{2} + 9} = 0$

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

Paso 3.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

No hay solución

$y = - \sqrt{x^{2} + 9}$

No hay solución

Paso 4