Precálculo Ejemplos

$2 x^{2} + y^{2} = 33$ , $x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Paso 1

Resuelve $y$ en $2 x^{2} + y^{2} = 33$ .

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Paso 1.1

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = 33 - 2 x^{2}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Paso 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Paso 1.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Paso 1.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Paso 1.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$

Paso 2

Resuelve el sistema $y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}, x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ .

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ por $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica $x^{2} + {(\sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}})$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2}$ como $33 - 2 x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ como ${(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.1.5

Simplifica.

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (\sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 + 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 4$

$y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ por $4$ .

$y = \sqrt{33 - 2 {(4)}^{2}}$

$x = 4$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica $\sqrt{33 - 2 {(4)}^{2}}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \sqrt{33 - 2 \cdot 16}$

$x = 4$

Paso 2.3.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$y = \sqrt{33 - 32}$

$x = 4$

Paso 2.3.2.1.3

Resta $32$ de $33$ .

$y = \sqrt{1}$

$x = 4$

Paso 2.3.2.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

$y = 1$

$x = 4$

Paso 3

Resuelve el sistema $y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}, x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ .

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ en cada ecuación.

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Paso 3.1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} + 2 y = 19$ por $- \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica $x^{2} + {(- \sqrt{33 - 2 x^{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}})$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ .

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 1 {\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.3

Multiplica ${\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.4

Reescribe ${\sqrt{33 - 2 x^{2}}}^{2}$ como $33 - 2 x^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{33 - 2 x^{2}}$ como ${(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + {(33 - 2 x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.4.5

Simplifica.

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} + 2 (- \sqrt{33 - 2 x^{2}}) = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$x^{2} + 33 - 2 x^{2} - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.1.2.1.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

$- x^{2} + 33 - 2 \sqrt{33 - 2 x^{2}} = 19$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = - 2, 2$

$y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ por $- 2$ .

$y = - \sqrt{33 - 2 {(- 2)}^{2}}$

$x = - 2$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $- \sqrt{33 - 2 {(- 2)}^{2}}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.1.1

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $1$ .

$y = - \sqrt{33 + (- 2) {(- 2)}^{2}}$

$x = - 2$

Paso 3.3.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{1 + 2}}$

$x = - 2$

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{1 + 2}}$

$x = - 2$

Paso 3.3.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{3}}$

$x = - 2$

$y = - \sqrt{33 + {(- 2)}^{3}}$

$x = - 2$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$y = - \sqrt{33 - 8}$

$x = - 2$

Paso 3.3.2.1.3

Resta $8$ de $33$ .

$y = - \sqrt{25}$

$x = - 2$

Paso 3.3.2.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = - \sqrt{5^{2}}$

$x = - 2$

Paso 3.3.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = - 1 \cdot 5$

$x = - 2$

Paso 3.3.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = - 5$

$x = - 2$

$y = - 5$

$x = - 2$

$y = - 5$

$x = - 2$

$y = - 5$

$x = - 2$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - \sqrt{33 - 2 x^{2}}$ por $2$ .

$y = - \sqrt{33 - 2 {(2)}^{2}}$

$x = 2$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- \sqrt{33 - 2 {(2)}^{2}}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = - \sqrt{33 - 2 \cdot 4}$

$x = 2$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$y = - \sqrt{33 - 8}$

$x = 2$

Paso 3.4.2.1.3

Resta $8$ de $33$ .

$y = - \sqrt{25}$

$x = 2$

Paso 3.4.2.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = - \sqrt{5^{2}}$

$x = 2$

Paso 3.4.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = - 1 \cdot 5$

$x = 2$

Paso 3.4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

$y = - 5$

$x = 2$

Paso 4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, 1)$

$(- 2, - 5)$

$(2, - 5)$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(4, 1), (4, 1), (- 2, - 5), (2, - 5)$

Forma de la ecuación:

$x = 4, y = 1$

$x = - 2, y = - 5$

$x = 2, y = - 5$

Paso 6