Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 13$ , $x^{2} - y = 7$

Paso 1

Resuelve $y$ en $x^{2} - y = 7$ .

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Paso 1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = 7 - x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Paso 1.2

Divide cada término en $- y = 7 - x^{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- y = 7 - x^{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Paso 1.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = \frac{7}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide $7$ por $- 1$ .

$y = - 7 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Paso 1.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - 7 + \frac{x^{2}}{1}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Paso 1.2.3.1.3

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 13$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 7 + x^{2}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} = 13$ por $- 7 + x^{2}$ .

$x^{2} + {(- 7 + x^{2})}^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $x^{2} + {(- 7 + x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(- 7 + x^{2})}^{2}$ como $(- 7 + x^{2}) (- 7 + x^{2})$ .

$x^{2} + (- 7 + x^{2}) (- 7 + x^{2}) = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(- 7 + x^{2}) (- 7 + x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 7 (- 7 + x^{2}) + x^{2} (- 7 + x^{2}) = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 7 \cdot - 7 - 7 x^{2} + x^{2} (- 7 + x^{2}) = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 7 \cdot - 7 - 7 x^{2} + x^{2} \cdot - 7 + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} - 7 \cdot - 7 - 7 x^{2} + x^{2} \cdot - 7 + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} + x^{2} \cdot - 7 + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 \cdot x^{2} + x^{2} x^{2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{2 + 2} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.3.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 7 x^{2} - 7 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Resta $7 x^{2}$ de $- 7 x^{2}$ .

$x^{2} + 49 - 14 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 14 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$x^{2} + 49 - 14 x^{2} + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 2.2.1.2

Resta $14 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

$- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3

Resuelve $x$ en $- 13 x^{2} + 49 + x^{4} = 13$ .

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Paso 3.1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 13 u + 49 = 13$

$u = x^{2}$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.2

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 13 u + 49 - 13 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.3

Resta $13$ de $49$ .

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.4

Factoriza $u^{2} - 13 u + 36$ con el método AC.

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Paso 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $36$ y cuya suma es $- 13$ .

$- 9, - 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

$(u - 9) (u - 4) = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.6

Establece $u - 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.6.1

Establece $u - 9$ igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.6.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 9$

$y = - 7 + x^{2}$

$u = 9$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.7

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.7.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.7.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

$u = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 9) (u - 4) = 0$ verdadera.

$u = 9, 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.9

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 9$

$x^{2} = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.10

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 9$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.11.2

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 3.11.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.11.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = \pm 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.11.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.11.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.11.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 3, - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 3, - 3$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.12

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

$x^{2} = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.13

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.13.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 4$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.13.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 3.13.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.13.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = \pm 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.13.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.13.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.13.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.13.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 3.14

La solución a $x^{4} - 13 x^{2} + 49 = 13$ es $x = 3, - 3, 2, - 2$ .

$x = 3, - 3, 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

$x = 3, - 3, 2, - 2$

$y = - 7 + x^{2}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 7 + x^{2}$ por $3$ .

$y = - 7 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- 7 + {(3)}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = 3$

Paso 4.2.1.2

Suma $- 7$ y $9$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 7 + x^{2}$ por $- 3$ .

$y = - 7 + {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- 7 + {(- 3)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = - 3$

Paso 5.2.1.2

Suma $- 7$ y $9$ .

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $x$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 7 + x^{2}$ por $3$ .

$y = - 7 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $- 7 + {(3)}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = 3$

Paso 6.2.1.2

Suma $- 7$ y $9$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 7 + x^{2}$ por $- 3$ .

$y = - 7 + {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica $- 7 + {(- 3)}^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = - 3$

Paso 7.2.1.2

Suma $- 7$ y $9$ .

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 7 + x^{2}$ por $2$ .

$y = - 7 + {(2)}^{2}$

$x = 2$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

Simplifica $- 7 + {(2)}^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = - 7 + 4$

$x = 2$

Paso 8.2.1.2

Suma $- 7$ y $4$ .

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $x$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 9.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 7 + x^{2}$ por $3$ .

$y = - 7 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Simplifica $- 7 + {(3)}^{2}$ .

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Paso 9.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = 3$

Paso 9.2.1.2

Suma $- 7$ y $9$ .

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

$y = 2$

$x = 3$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 7 + x^{2}$ por $- 3$ .

$y = - 7 + {(- 3)}^{2}$

$x = - 3$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

Simplifica $- 7 + {(- 3)}^{2}$ .

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Paso 10.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$y = - 7 + 9$

$x = - 3$

Paso 10.2.1.2

Suma $- 7$ y $9$ .

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

$y = 2$

$x = - 3$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 7 + x^{2}$ por $2$ .

$y = - 7 + {(2)}^{2}$

$x = 2$

Paso 11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.1

Simplifica $- 7 + {(2)}^{2}$ .

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Paso 11.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = - 7 + 4$

$x = 2$

Paso 11.2.1.2

Suma $- 7$ y $4$ .

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$x = 2$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - 7 + x^{2}$ por $- 2$ .

$y = - 7 + {(- 2)}^{2}$

$x = - 2$

Paso 12.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.1

Simplifica $- 7 + {(- 2)}^{2}$ .

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Paso 12.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = - 7 + 4$

$x = - 2$

Paso 12.2.1.2

Suma $- 7$ y $4$ .

$y = - 3$

$x = - 2$

$y = - 3$

$x = - 2$

$y = - 3$

$x = - 2$

$y = - 3$

$x = - 2$

Paso 13

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(3, 2)$

$(- 3, 2)$

$(2, - 3)$

$(- 2, - 3)$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(3, 2), (- 3, 2), (2, - 3), (- 2, - 3)$

Forma de la ecuación:

$x = 3, y = 2$

$x = - 3, y = 2$

$x = 2, y = - 3$

$x = - 2, y = - 3$

Paso 15