Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = x^{2} - 3$

Paso 1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $x^{2} - 3$ en cada ecuación.

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Paso 1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} = 9$ por $x^{2} - 3$ .

$x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2} = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Simplifica $x^{2} + {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x^{2} - 3)}^{2}$ como $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ .

$x^{2} + (x^{2} - 3) (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} - 3) - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 (x^{2} - 3) = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 3 \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $3 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{2} + x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 1.2.1.2

Resta $6 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

$x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2

Resuelve $x$ en $x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ .

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Paso 2.1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 5 u + 9 = 9$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 5 u + 9 - 9 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.3

Combina los términos opuestos en $u^{2} - 5 u + 9 - 9$ .

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Paso 2.3.1

Resta $9$ de $9$ .

$u^{2} - 5 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.3.2

Suma $u^{2} - 5 u$ y $0$ .

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u^{2} - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.4

Factoriza $u$ de $u^{2} - 5 u$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u - 5 u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.4.2

Factoriza $u$ de $- 5 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.4.3

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot - 5$ .

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

$u (u - 5) = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.6

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.7

Establece $u - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.7.1

Establece $u - 5$ igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.7.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

$u = 5$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (u - 5) = 0$ verdadera.

$u = 0, 5$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.9

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.10

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.11.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.11.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.11.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.11.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.12

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.13

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.13.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 5$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.13.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.13.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.13.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.13.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Paso 2.14

La solución a $x^{4} - 5 x^{2} + 9 = 9$ es $x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$y = x^{2} - 3$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 3$ por $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(0)}^{2} - 3$ .

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Paso 3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 3$

$x = 0$

Paso 3.2.1.2

Resta $3$ de $0$ .

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\sqrt{5}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 3$ por $\sqrt{5}$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ .

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Paso 4.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 4.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 4.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 4.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 4.2.1.1.5

Evalúa el exponente.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 4.2.1.2

Resta $3$ de $5$ .

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $x$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 3$ por $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 3$

$x = 0$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(0)}^{2} - 3$ .

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 3$

$x = 0$

Paso 5.2.1.2

Resta $3$ de $0$ .

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\sqrt{5}$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 3$ por $\sqrt{5}$ .

$y = {(\sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(\sqrt{5})}^{2} - 3$ .

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Paso 6.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 6.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 6.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 6.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 6.2.1.1.5

Evalúa el exponente.

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = \sqrt{5}$

Paso 6.2.1.2

Resta $3$ de $5$ .

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = \sqrt{5}$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \sqrt{5}$ en cada ecuación.

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Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} - 3$ por $- \sqrt{5}$ .

$y = {(- \sqrt{5})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica ${(- \sqrt{5})}^{2} - 3$ .

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Paso 7.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{5}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 1 {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2.1.1.3

Multiplica ${\sqrt{5}}^{2}$ por $1$ .

$y = {\sqrt{5}}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2.1.1.4

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 7.2.1.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2.1.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2.1.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2.1.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$y = 5^{\frac{2}{2}} - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2.1.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2.1.1.4.5

Evalúa el exponente.

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 5 - 3$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 7.2.1.2

Resta $3$ de $5$ .

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

$y = 2$

$x = - \sqrt{5}$

Paso 8

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, - 3)$

$(\sqrt{5}, 2)$

$(- \sqrt{5}, 2)$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(0, - 3), (\sqrt{5}, 2), (- \sqrt{5}, 2)$

Forma de la ecuación:

$x = 0, y = - 3$

$x = \sqrt{5}, y = 2$

$x = - \sqrt{5}, y = 2$

Paso 10