Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $x y = 4$

Paso 1

Divide cada término en $x y = 4$ por $y$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x y = 4$ por $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{y} = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Paso 1.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{4}{y}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + y^{2} = 8$ por $\frac{4}{y}$ .

${(\frac{4}{y})}^{2} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{y}$ .

$\frac{4^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 2.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

$\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ .

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ por $y^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{16}{y^{2}} + y^{2} = 8$ por $y^{2}$ .

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{2} y^{2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 + y^{2 + 2} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

$16 + y^{4} = 8 y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $8 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$16 + y^{4} - 8 y^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.2

Sustituye $u = y^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.3.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.3.3

Reescribe el polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

${(u - 4)}^{2} = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.4

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.5

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.6

Sustituye el valor real de $u = y^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$y^{2} = 4$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.7

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 3.3.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.7.2

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 3.3.7.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.7.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = \pm 2$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = 2$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.7.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 3.3.7.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

$y = 2, - 2$

$x = \frac{4}{y}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{4}{y}$ por $2$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Divide $4$ por $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{4}{y}$ por $- 2$ .

$x = \frac{4}{- 2}$

$y = - 2$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Divide $4$ por $- 2$ .

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 2)$

$(- 2, - 2)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(2, 2), (- 2, - 2)$

Forma de la ecuación:

$x = 2, y = 2$

$x = - 2, y = - 2$

Paso 8