Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 36$ , $x + y = 1$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 1 - y$

$x^{2} + y^{2} = 36$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $1 - y$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $x^{2} + y^{2} = 36$ por $1 - y$ .

${(1 - y)}^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(1 - y)}^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(1 - y)}^{2}$ como $(1 - y) (1 - y)$ .

$(1 - y) (1 - y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(1 - y) (1 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - y) - y (1 - y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- y$ por $1$ .

$1 - y - y \cdot 1 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - y - y - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - y - y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - y - y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - y - y + 1 y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.3.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$1 - y - y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - y - y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.1.3.2

Resta $y$ de $- y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 2.2.1.2

Suma $y^{2}$ y $y^{2}$ .

$1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

$1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 1 - y$

Paso 3

Resuelve $y$ en $1 - 2 y + 2 y^{2} = 36$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.1.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$1 - 2 y + 2 y^{2} - 36 = 0$

$x = 1 - y$

Paso 3.1.2

Resta $36$ de $1$ .

$- 2 y + 2 y^{2} - 35 = 0$

$x = 1 - y$

$- 2 y + 2 y^{2} - 35 = 0$

$x = 1 - y$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 1 - y$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 2$ y $c = - 35$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 35)}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 35$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 35$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.4.1.3

Suma $4$ y $280$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{284}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.4.1.4

Reescribe $284$ como $2^{2} \cdot 71$ .

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Paso 3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $284$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (71)}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$

$x = 1 - y$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{1 \pm \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 35$ .

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Paso 3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 35$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5.1.3

Suma $4$ y $280$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{284}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5.1.4

Reescribe $284$ como $2^{2} \cdot 71$ .

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Paso 3.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $284$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (71)}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 35$ .

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Paso 3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 35}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 35$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 280}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6.1.3

Suma $4$ y $280$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{284}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6.1.4

Reescribe $284$ como $2^{2} \cdot 71$ .

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Paso 3.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $284$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (71)}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{2 \cdot 2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{71}}{4}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = 1 - y$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{1 + \sqrt{71}}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 1 - y$ por $\frac{1 + \sqrt{71}}{2}$ .

$x = 1 - (\frac{1 + \sqrt{71}}{2})$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{1 + \sqrt{71}}{2})$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x = \frac{2}{2} - \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 - (1 + \sqrt{71})}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{2 - (1 + \sqrt{71})}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 - 1 \cdot 1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = \frac{2 - 1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Paso 4.2.1.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{1 - \sqrt{71}}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 1 - y$ por $\frac{1 - \sqrt{71}}{2}$ .

$x = 1 - (\frac{1 - \sqrt{71}}{2})$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $1 - (\frac{1 - \sqrt{71}}{2})$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x = \frac{2}{2} - \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 - (1 - \sqrt{71})}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{2 - (1 - \sqrt{71})}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2 - 1 \cdot 1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = \frac{2 - 1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Paso 5.2.1.2.3

Multiplica $- - \sqrt{71}$ .

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Paso 5.2.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 - 1 + 1 \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Paso 5.2.1.2.3.2

Multiplica $\sqrt{71}$ por $1$ .

$x = \frac{2 - 1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{2 - 1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Paso 5.2.1.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Paso 6

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{1 - \sqrt{71}}{2}, \frac{1 + \sqrt{71}}{2})$

$(\frac{1 + \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - \sqrt{71}}{2})$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{1 - \sqrt{71}}{2}, \frac{1 + \sqrt{71}}{2}), (\frac{1 + \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - \sqrt{71}}{2})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}, y = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{71}}{2}, y = \frac{1 - \sqrt{71}}{2}$

Paso 8