Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = 8$ , $y^{2} = 2 x$

Paso 1

Resuelve $y$ en $y^{2} = 2 x$ .

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Paso 1.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Paso 1.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Paso 1.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Paso 1.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + y^{2} = 8$

Paso 2

Resuelve el sistema $y = \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ .

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\sqrt{2 x}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} = 8$ por $\sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(\sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ como $2 x$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.1.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.1.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.1.2.1.5

Simplifica.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.2

Resuelve $x$ en $x^{2} + 2 x = 8$ .

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Paso 2.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.2.2

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = \sqrt{2 x}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = \sqrt{2 x}$ por $2$ .

$y = \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica $\sqrt{2 (2)}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \sqrt{4}$

$x = 2$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

Paso 2.3.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

Paso 2.4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 2.4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = \sqrt{2 x}$ por $- 4$ .

$y = \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica $\sqrt{2 (- 4)}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$y = \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$y = \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$y = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

Paso 2.4.2.1.4

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = i \cdot \sqrt{8}$

$x = - 4$

Paso 2.4.2.1.5

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.1.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = i \cdot \sqrt{4 (2)}$

$x = - 4$

Paso 2.4.2.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

$y = i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$x = - 4$

Paso 2.4.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = i \cdot (2 \sqrt{2})$

$x = - 4$

Paso 2.4.2.1.7

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

Paso 3

Resuelve el sistema $y = - \sqrt{2 x}, x^{2} + y^{2} = 8$ .

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \sqrt{2 x}$ en cada ecuación.

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Paso 3.1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} = 8$ por $- \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(- \sqrt{2 x})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 1 {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica ${\sqrt{2 x}}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{2 x}}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.1.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ como $2 x$ .

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Paso 3.1.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.1.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.1.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.1.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}} = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.1.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.1.2.1.4.5

Simplifica.

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x^{2} + 2 x = 8$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.2

Resuelve $x$ en $x^{2} + 2 x = 8$ .

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Paso 3.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.2.2

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 3.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

$(x - 2) (x + 4) = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

$x = 2, - 4$

$y = - \sqrt{2 x}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - \sqrt{2 x}$ por $2$ .

$y = - \sqrt{2 (2)}$

$x = 2$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $- \sqrt{2 (2)}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = - \sqrt{4}$

$x = 2$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = - \sqrt{2^{2}}$

$x = 2$

Paso 3.3.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = - 1 \cdot 2$

$x = 2$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 4$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - \sqrt{2 x}$ por $- 4$ .

$y = - \sqrt{2 (- 4)}$

$x = - 4$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- \sqrt{2 (- 4)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$y = - \sqrt{- 8}$

$x = - 4$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$y = - \sqrt{- 1 \cdot 8}$

$x = - 4$

Paso 3.4.2.1.3

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$y = - (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

Paso 3.4.2.1.4

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = - (i \cdot \sqrt{8})$

$x = - 4$

Paso 3.4.2.1.5

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = - (i \cdot \sqrt{4 (2)})$

$x = - 4$

Paso 3.4.2.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

$y = - (i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

$x = - 4$

Paso 3.4.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = - (i \cdot (2 \sqrt{2}))$

$x = - 4$

Paso 3.4.2.1.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.7.1

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = - (2 \cdot (i \sqrt{2}))$

$x = - 4$

Paso 3.4.2.1.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

$y = - 2 i \sqrt{2}$

$x = - 4$

Paso 4

Enumera todas las soluciones.

$y = 2, x = 2$

$y = 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

$y = - 2, x = 2$

$y = - 2 i \sqrt{2}, x = - 4$

Paso 5