Precálculo Ejemplos

$y^{2} + 2 x + x^{2} = 24 y - 120$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1

Resta $24 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 2 x + x^{2} - 24 y = - 120$

Paso 1.2

Mueve $2 x$ .

$y^{2} + x^{2} + 2 x - 24 y = - 120$

Paso 1.3

Reordena $y^{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 24 y = - 120$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 2.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Paso 3

Sustituye ${(x + 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} + 2 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 2 x - 24 y = - 120$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 24 y = - 120$

Paso 4

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - 24 y = - 120 + 1$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} - 24 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 24$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $- 24$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 12}{1}$

Paso 5.3.2.2.4

Divide $- 12$ por $1$ .

$d = - 12$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{576}{4}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $576$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $144$ .

$e = 0 - 144$

Paso 5.4.2.2

Resta $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 12)}^{2} - 144$ .

${(y - 12)}^{2} - 144$

Paso 6

Sustituye ${(y - 12)}^{2} - 144$ por $y^{2} - 24 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 2 x - 24 y = - 120$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 12)}^{2} - 144 = - 120 + 1$

Paso 7

Mueve $- 144$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $144$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 12)}^{2} = - 120 + 1 + 144$

Paso 8

Simplifica $- 120 + 1 + 144$ .

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Paso 8.1

Suma $- 120$ y $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 12)}^{2} = - 119 + 144$

Paso 8.2

Suma $- 119$ y $144$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 12)}^{2} = 25$