Precálculo Ejemplos

${(y + 3)}^{2} = 4 (x - 1)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$ .

$4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$

Paso 2

Divide cada término en $4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $4 (x - 1) = {(y + 3)}^{2}$ por $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$

Paso 2.2.1.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$

Paso 3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} + 1$

Paso 4

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 3)}^{2} + 1$

Paso 4.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = - 3$

Paso 4.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, - 3)$

Paso 4.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 4.5.3

Simplifica.

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Paso 4.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 4.5.3.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 4.5.3.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 4.5.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 4.6

Obtén el foco.

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Paso 4.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 4.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, - 3)$

Paso 4.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 3$

Paso 4.8

Obtén la directriz.

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Paso 4.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 4.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = 0$

Paso 4.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(1, - 3)$

Foco: $(2, - 3)$

Eje de simetría: $y = - 3$

Directriz: $x = 0$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(1, - 3)$

Foco: $(2, - 3)$

Eje de simetría: $y = - 3$

Directriz: $x = 0$

Paso 5

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 5.1

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = 2 \sqrt{x - 1} - 3$ . En este caso, el punto es $(2, - 1)$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 2 \sqrt{(2) - 1} - 3$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.1

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{1} - 3$

Paso 5.1.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (2) = 2 \cdot 1 - 3$

Paso 5.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (2) = 2 - 3$

Paso 5.1.2.2

Resta $3$ de $2$ .

$f (2) = - 1$

Paso 5.1.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 5.1.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$= - 1$

Paso 5.2

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = - 2 \sqrt{x - 1} - 3$ . En este caso, el punto es $(2, - 5)$ .

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Paso 5.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - 2 \sqrt{(2) - 1} - 3$

Paso 5.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = - 2 \sqrt{1} - 3$

Paso 5.2.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (2) = - 2 \cdot 1 - 3$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (2) = - 2 - 3$

Paso 5.2.2.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$f (2) = - 5$

Paso 5.2.2.3

La respuesta final es $- 5$ .

$y = - 5$

Paso 5.2.3

Convierte $- 5$ a decimal.

$= - 5$

Paso 5.3

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = 2 \sqrt{x - 1} - 3$ . En este caso, el punto es $(3, - 0.17157287)$ .

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Paso 5.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = 2 \sqrt{(3) - 1} - 3$

Paso 5.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.3.2.1

Resta $1$ de $3$ .

$f (3) = 2 \sqrt{2} - 3$

Paso 5.3.2.2

La respuesta final es $2 \sqrt{2} - 3$ .

$y = 2 \sqrt{2} - 3$

Paso 5.3.3

Convierte $2 \sqrt{2} - 3$ a decimal.

$= - 0.17157287$

Paso 5.4

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = - 2 \sqrt{x - 1} - 3$ . En este caso, el punto es $(3, - 5.82842712)$ .

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Paso 5.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - 2 \sqrt{(3) - 1} - 3$

Paso 5.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.4.2.1

Resta $1$ de $3$ .

$f (3) = - 2 \sqrt{2} - 3$

Paso 5.4.2.2

La respuesta final es $- 2 \sqrt{2} - 3$ .

$y = - 2 \sqrt{2} - 3$

Paso 5.4.3

Convierte $- 2 \sqrt{2} - 3$ a decimal.

$= - 5.82842712$

Paso 5.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 1 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 0.17 \\ 3 & - 5.83 \end{array}$

Paso 6

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(1, - 3)$

Foco: $(2, - 3)$

Eje de simetría: $y = - 3$

Directriz: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 1 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 0.17 \\ 3 & - 5.83 \end{array}$

Paso 7