Precálculo Ejemplos

${(y - 1)}^{2} = 8 (x + 3)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ .

$8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$

Paso 2

Divide cada término en $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ por $8$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ por $8$ .

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Paso 2.2.1.2

Divide $x + 3$ por $1$ .

$x + 3 = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Paso 3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8} - 3$

Paso 4

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 1)}^{2} - 3$

Paso 4.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 3$

$k = 1$

Paso 4.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Paso 4.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Paso 4.5.3

Simplifica.

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Paso 4.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Paso 4.5.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 4.5.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Paso 4.5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 4.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 4.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 4.5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 2$

Paso 4.5.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.6

Obtén el foco.

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Paso 4.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 4.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, 1)$

Paso 4.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 1$

Paso 4.8

Obtén la directriz.

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Paso 4.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 4.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - 5$

Paso 4.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 3, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = - 5$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 3, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = - 5$

Paso 5

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 5.1

Sustituye el valor $x$ $- 2$ en $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . En este caso, el punto es $(- 2, 3.82842712)$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Paso 5.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2} + 1$

Paso 5.1.2.2

La respuesta final es $2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 2 \sqrt{2} + 1$

Paso 5.1.3

Convierte $2 \sqrt{2} + 1$ a decimal.

$= 3.82842712$

Paso 5.2

Sustituye el valor $x$ $- 2$ en $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . En este caso, el punto es $(- 2, - 1.82842712)$ .

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Paso 5.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Paso 5.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2} + 1$

Paso 5.2.2.2

La respuesta final es $- 2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = - 2 \sqrt{2} + 1$

Paso 5.2.3

Convierte $- 2 \sqrt{2} + 1$ a decimal.

$= - 1.82842712$

Paso 5.3

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . En este caso, el punto es $(- 1, 5)$ .

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Paso 5.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Paso 5.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{4} + 1$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Paso 5.3.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 1) = 2 \cdot 2 + 1$

Paso 5.3.2.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- 1) = 4 + 1$

Paso 5.3.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$f (- 1) = 5$

Paso 5.3.2.3

La respuesta final es $5$ .

$y = 5$

Paso 5.3.3

Convierte $5$ a decimal.

$= 5$

Paso 5.4

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . En este caso, el punto es $(- 1, - 3)$ .

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Paso 5.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Paso 5.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{4} + 1$

Paso 5.4.2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Paso 5.4.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 1) = - 2 \cdot 2 + 1$

Paso 5.4.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 1$

Paso 5.4.2.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$f (- 1) = - 3$

Paso 5.4.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$y = - 3$

Paso 5.4.3

Convierte $- 3$ a decimal.

$= - 3$

Paso 5.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Paso 6

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 3, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Paso 7