Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 \cdot 5 - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{20 - {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{20 - 1 \cdot 4}$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{20 - 4}$

Paso 5.3.3.4

Resta $4$ de $20$ .

$\sqrt{16}$

Paso 5.3.3.5

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Paso 5.3.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 2 \sqrt{5})$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 2 \sqrt{5})$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (2 \sqrt{5}))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - 2 \sqrt{5})$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{5})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 4)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, 4)$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (4))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - 4)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.3

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5 - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{20 - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{20 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{20 - 4}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.7

Resta $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.8

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 8.3.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 8.3.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 8.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 8.3.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 8.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 8.3.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Excentricidad: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 10