Precálculo Ejemplos

$81 x^{2} + 36 y^{2} = 2916$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide cada término por $2916$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{81 x^{2}}{2916} + \frac{36 y^{2}}{2916} = \frac{2916}{2916}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{81} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 9$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(9)}^{2} - {(6)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{81 - {(6)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{81 - 1 \cdot 36}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$\sqrt{81 - 36}$

Paso 5.3.4

Resta $36$ de $81$ .

$\sqrt{45}$

Paso 5.3.5

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\sqrt{9 (5)}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Paso 5.3.6

Retira los términos de abajo del radical.

$3 \sqrt{5}$

Paso 6

Obtén los vértices.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 9)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 9)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (9))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - 9)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

Paso 7

Obtén los focos.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 3 \sqrt{5})$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, 3 \sqrt{5})$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (3 \sqrt{5}))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - 3 \sqrt{5})$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3 \sqrt{5})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(6)}^{2}}}{9}$

Paso 8.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 6^{2}}}{9}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 36}}{9}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$\frac{\sqrt{81 - 36}}{9}$

Paso 8.3.1.4

Resta $36$ de $81$ .

$\frac{\sqrt{45}}{9}$

Paso 8.3.1.5

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.5.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{9}$

Paso 8.3.1.5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{9}$

Paso 8.3.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{9}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{9}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{3 \cdot 3}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{5}}{3 \cdot 3}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3 \sqrt{5})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 10