Precálculo Ejemplos

$9 x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{9}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

Paso 5.3.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

Paso 5.3.7

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

Paso 5.3.8

Para escribir $- \frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 5.3.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.9.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 5.3.9.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 5.3.9.3

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Paso 5.3.9.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

Paso 5.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

Paso 5.3.11

Resta $4$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

Paso 5.3.12

Reescribe $\sqrt{\frac{5}{36}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

Paso 5.3.13

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.13.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

Paso 5.3.13.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + \frac{1}{2})$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, \frac{1}{2})$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (\frac{1}{2}))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - \frac{1}{2})$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{2})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + \frac{\sqrt{5}}{6})$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Paso 8.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Paso 8.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Paso 8.3.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Paso 8.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Paso 8.3.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Paso 8.3.8

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Paso 8.3.9

Para escribir $- \frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Paso 8.3.10

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.10.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Paso 8.3.10.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Paso 8.3.10.3

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Paso 8.3.10.4

Multiplica $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

Paso 8.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

Paso 8.3.12

Resta $4$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

Paso 8.3.13

Reescribe $\sqrt{\frac{5}{36}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Paso 8.3.14

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.14.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Paso 8.3.14.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

Paso 8.3.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.15.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

Paso 8.3.15.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Paso 8.3.15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 10