Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y + 51 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Resta $51$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $4 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Paso 1.3

Sustituye $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ por $4 x^{2} + 8 x$ en la ecuación $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 3 y^{2} - 24 y = - 51$

Paso 1.4

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = - 51 + 4$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $3 y^{2} - 24 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 24$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 12}{3}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{576}{12}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $576$ por $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 48$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$e = 0 - 48$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $48$ de $0$ .

$e = - 48$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ .

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

Paso 1.6

Sustituye $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ por $3 y^{2} - 24 y$ en la ecuación $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 24 y = - 51$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = - 51 + 4$

Paso 1.7

Mueve $- 48$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $48$ a ambos lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 51 + 4 + 48$

Paso 1.8

Simplifica $- 51 + 4 + 48$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 51$ y $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 47 + 48$

Paso 1.8.2

Suma $- 47$ y $48$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 1$

Paso 1.9

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{\frac{1}{3}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 4$

$h = - 1$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 1, 4)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}}$

Paso 5.3.5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$

Paso 5.3.6

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Paso 5.3.7

Para escribir $- \frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 5.3.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 5.3.8.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 5.3.8.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}}$

Paso 5.3.8.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}}$

Paso 5.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}}$

Paso 5.3.10

Resta $3$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}}$

Paso 5.3.11

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{12}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$

Paso 5.3.12

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}}$

Paso 5.3.13

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.13.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.3.13.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}}$

Paso 5.3.13.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Paso 5.3.13.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

Paso 5.3.14

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.3.15

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.15.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.3.15.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 5.3.15.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Paso 5.3.15.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Paso 5.3.15.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.3.15.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.3.15.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.15.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.15.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.15.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.15.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.15.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.15.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Paso 5.3.15.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.3.16

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

Paso 6.5

Simplifica.

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 6.6

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

Paso 7.3

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 4 - (\frac{\sqrt{3}}{6}))$

Paso 7.5

Simplifica.

$(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{3}{3^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.5

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 8.3.5.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{9} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.5.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1^{2}}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.6.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{2^{2}}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.6.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.7

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.8

Para escribir $- \frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.9.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.9.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.9.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.9.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 - 3}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.11

Resta $3$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{12}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.12

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{12}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.13

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.14

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.14.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.3.14.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 (3)}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.14.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.14.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.15

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.16.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.16.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.16.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.16.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.17

Cancela el factor común de $\sqrt{3}$ .

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Paso 8.3.17.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.17.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 3$

Paso 8.3.18

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3$

Paso 8.3.19

Combina $\frac{1}{6}$ y $3$ .

$\frac{3}{6}$

Paso 8.3.20

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 8.3.20.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Paso 8.3.20.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.20.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 8.3.20.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 8.3.20.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(- 1, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + \frac{\sqrt{3}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - \frac{\sqrt{3}}{6})$

Excentricidad: $\frac{1}{2}$

Paso 10