Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 8 x = 4 y - 8$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $4 y - 8 = x^{2} + 8 x$ .

$4 y - 8 = x^{2} + 8 x$

Paso 1.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = x^{2} + 8 x + 8$

Paso 1.3

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 1.3.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{8}{4}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{8}{4}$

Paso 1.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{8}{4}$

Paso 1.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{8}{4}$

Paso 1.3.3.1.1.2.4

Divide $2 x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{8}{4}$

Paso 1.3.3.1.2

Divide $8$ por $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 2$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 4$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = 2 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = 2 - \frac{4}{1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 2 - 1 \cdot 4$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 2 - 4$

Paso 2.1.1.4.2.2

Resta $4$ de $2$ .

$e = - 2$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 2$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 2$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 4, - 2)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 2.5.3.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 2.5.3.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 2.5.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4, - 1)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 4$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 3$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, - 2)$

Foco: $(- 4, - 1)$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = - 3$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, - 2)$

Foco: $(- 4, - 1)$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = - 3$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 2$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 2$

Paso 3.2.1.2

Divide $36$ por $4$ .

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 2$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f (- 6) = 9 - 12 + 2$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.2.1

Resta $12$ de $9$ .

$f (- 6) = - 3 + 2$

Paso 3.2.2.2

Suma $- 3$ y $2$ .

$f (- 6) = - 1$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = - 6$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 2$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 2$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 2$

Paso 3.5.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.5.2.1

Escribe $- 10$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 2$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Paso 3.5.2.3

Multiplica $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 2$

Paso 3.5.2.4

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

Paso 3.5.2.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.5.2.6

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 3.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $- 10$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 8}{4}$

Paso 3.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.5.1

Resta $40$ de $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 15 + 8}{4}$

Paso 3.5.5.2

Suma $- 15$ y $8$ .

$f (- 5) = \frac{- 7}{4}$

Paso 3.5.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 5) = - \frac{7}{4}$

Paso 3.5.6

La respuesta final es $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 5$ es $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 2$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 2$

Paso 3.8.1.2

Divide $4$ por $4$ .

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 2$

Paso 3.8.1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 + 2$

Paso 3.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.8.2.1

Resta $4$ de $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 2$

Paso 3.8.2.2

Suma $- 3$ y $2$ .

$f (- 2) = - 1$

Paso 3.8.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 2$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 2$

Paso 3.11.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 2$

Paso 3.11.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.11.2.1

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 2$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Paso 3.11.2.3

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2$

Paso 3.11.2.4

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

Paso 3.11.2.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.11.2.6

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 3.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 3.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.4.1

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 3.11.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 8}{4}$

Paso 3.11.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.5.1

Resta $24$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 15 + 8}{4}$

Paso 3.11.5.2

Suma $- 15$ y $8$ .

$f (- 3) = \frac{- 7}{4}$

Paso 3.11.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{7}{4}$

Paso 3.11.6

La respuesta final es $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, - 2)$

Foco: $(- 4, - 1)$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

Paso 5