Precálculo Ejemplos

$y^{2} = 1 - 25 x^{2}$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Suma $25 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 25 x^{2} = 1$

Paso 1.1.2

Reordena $y^{2}$ y $25 x^{2}$ .

$25 x^{2} + y^{2} = 1$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{25}} + y^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 1$

$b = \frac{1}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Paso 5.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

Paso 5.3.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

Paso 5.3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

Paso 5.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

Paso 5.3.7

Resta $1$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

Paso 5.3.8

Reescribe $\sqrt{\frac{24}{25}}$ como $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Paso 5.3.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.9.1

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.9.1.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

Paso 5.3.9.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

Paso 5.3.9.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

Paso 5.3.10

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.10.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 5.3.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Paso 6

Obtén los vértices.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 1)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 1)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (1))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - 1)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (\frac{2 \sqrt{6}}{5}))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}}{1}$

Paso 8.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Divide $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Paso 8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{5})}^{2}}$

Paso 8.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{5^{2}}}$

Paso 8.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{5^{2}}}$

Paso 8.3.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

Paso 8.3.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{25}{25} - \frac{1}{25}}$

Paso 8.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{25 - 1}{25}}$

Paso 8.3.8

Resta $1$ de $25$ .

$\sqrt{\frac{24}{25}}$

Paso 8.3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{24}{25}}$ como $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Paso 8.3.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.10.1

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.10.1.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

Paso 8.3.10.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

Paso 8.3.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

Paso 8.3.11

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.11.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 8.3.11.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Excentricidad: $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Paso 10