Precálculo Ejemplos

$3 x^{2} + 6 y^{2} = 18$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por $18$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{3 x^{2}}{18} + \frac{6 y^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \sqrt{6}$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{6^{1} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{6 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{6 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{6 - 3^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{6 - 1 \cdot 3}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\sqrt{6 - 3}$

Paso 5.3.3.2

Resta $3$ de $6$ .

$\sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \sqrt{6}, 0)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(\sqrt{6}, 0)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\sqrt{6}), 0)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- \sqrt{6}, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \sqrt{3}, 0)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(\sqrt{3}, 0)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\sqrt{3}), 0)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- \sqrt{3}, 0)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{6^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{6 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{6 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{6 - 3^{1}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{6 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6 - 3}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.4

Resta $3$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.2

Combina $\sqrt{3}$ y $\sqrt{6}$ en un solo radical.

$\sqrt{\frac{3}{6}}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{6}}$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 8.3.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.3.7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 8.3.7.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{6}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10