Precálculo Ejemplos

$2 y^{2} - x^{2} + 2 x + 8 y + 3 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} - x^{2} + 2 x + 8 y = - 3$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $2 y^{2} + 8 y$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (2)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{2}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{8}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $64$ por $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 8$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$e = 0 - 8$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $8$ de $0$ .

$e = - 8$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(y + 2)}^{2} - 8$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - 8$

Paso 1.3

Sustituye $2 {(y + 2)}^{2} - 8$ por $2 y^{2} + 8 y$ en la ecuación $2 y^{2} - x^{2} + 2 x + 8 y = - 3$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - 8 - x^{2} + 2 x = - 3$

Paso 1.4

Mueve $- 8$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $8$ a ambos lados.

$2 {(y + 2)}^{2} - x^{2} + 2 x = - 3 + 8$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.5.3.2.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$e = 1$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

Paso 1.6

Sustituye $- {(x - 1)}^{2} + 1$ por $- x^{2} + 2 x$ en la ecuación $2 y^{2} - x^{2} + 2 x + 8 y = - 3$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} + 1 = - 3 + 8$

Paso 1.7

Mueve $1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

$2 {(y + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 3 + 8 - 1$

Paso 1.8

Simplifica $- 3 + 8 - 1$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 3$ y $8$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 5 - 1$

Paso 1.8.2

Resta $1$ de $5$ .

$2 {(y + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 4$

Paso 1.9

Divide cada término por $4$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{2 {(y + 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = 2$

$k = - 2$

$h = 1$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(1, - 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2^{1} + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{2 + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{2 + 4}$

Paso 5.3.2.2

Suma $2$ y $4$ .

$\sqrt{6}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - 2 + \sqrt{2})$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - 2 - \sqrt{2})$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(1, - 2 + \sqrt{2}), (1, - 2 - \sqrt{2})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - 2 + \sqrt{6})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - 2 - \sqrt{6})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(1, - 2 + \sqrt{6}), (1, - 2 - \sqrt{6})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(2)}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2^{1} + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2 + 2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + 4}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.2

Combina $\sqrt{6}$ y $\sqrt{2}$ en un solo radical.

$\sqrt{\frac{6}{2}}$

Paso 8.3.3

Divide $6$ por $2$ .

$\sqrt{3}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{2^{2}}{\sqrt{6}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{6}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 \sqrt{6}}{6}$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 9.3.4.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{6})}{6}$

Paso 9.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{6})}{2 (3)}$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 3}$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (1)) - 2$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (1)) - 2$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - 1) - 2$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1 - 2$

Paso 11.2.3

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1 - 2$

Paso 11.2.4

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $- 1$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot - 1}{2} - 2$

Paso 11.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{2}}{2} - 2$

Paso 11.2.5.1.2

Reescribe $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2$

Paso 11.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (1)) - 2$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - 1) - 2$

Paso 12.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1 - 2$

Paso 12.2.3

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1 - 2$

Paso 12.2.4

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 12.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Paso 12.2.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2, y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(1, - 2)$

Vértices: $(1, - 2 + \sqrt{2}), (1, - 2 - \sqrt{2})$

Focos: $(1, - 2 + \sqrt{6}), (1, - 2 - \sqrt{6})$

Excentricidad: $\sqrt{3}$

Parámetro focal: $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Asíntotas: $y = \frac{\sqrt{2} x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$ , $y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$

Paso 15