Precálculo Ejemplos

$y = 2 \cos (x - \frac{π}{3})$

Paso 1

Usa la forma $a \cos (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = 2$

$b = 1$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

Paso 2

Obtén la amplitud $| a |$ .

Amplitud: $2$

Paso 3

Obtén el período de $2 \cos (x - \frac{π}{3})$ .

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Paso 3.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Paso 4.1

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Paso 4.2

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{\frac{π}{3}}{1}$

Paso 4.3

Divide $\frac{π}{3}$ por $1$ .

Desfase: $\frac{π}{3}$

Paso 5

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: $2$

Período: $2 π$

Desfase: $\frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ a la derecha)

Desplazamiento vertical: ninguno

Paso 6

Selecciona algunos puntos para la gráfica.

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Paso 6.1

Obtén el punto en $x = \frac{π}{3}$ .

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Paso 6.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3})$

Paso 6.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π - π}{3})$

Paso 6.1.2.2

Resta $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{0}{3})$

Paso 6.1.2.3

Divide $0$ por $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (0)$

Paso 6.1.2.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot 1$

Paso 6.1.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2$

Paso 6.1.2.6

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.2

Obtén el punto en $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Paso 6.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{5 π}{6}) - \frac{π}{3})$

Paso 6.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.2.1

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 6.2.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Paso 6.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

Paso 6.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})$

Paso 6.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π - 2 π}{6})$

Paso 6.2.2.4.2

Resta $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{6})$

Paso 6.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 6.2.2.5.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

Paso 6.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Paso 6.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Paso 6.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Paso 6.2.2.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot 0$

Paso 6.2.2.7

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0$

Paso 6.2.2.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6.3

Obtén el punto en $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Paso 6.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos ((\frac{4 π}{3}) - \frac{π}{3})$

Paso 6.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π - π}{3})$

Paso 6.3.2.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Paso 6.3.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Paso 6.3.2.3.2

Divide $π$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (π)$

Paso 6.3.2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \cos (0))$

Paso 6.3.2.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 6.3.2.6

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 6.3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cdot - 1$

Paso 6.3.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2$

Paso 6.3.2.7

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 6.4

Obtén el punto en $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Paso 6.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{11 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{11 π}{6}) - \frac{π}{3})$

Paso 6.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.4.2.1

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 6.4.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.4.2.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Paso 6.4.2.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

Paso 6.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})$

Paso 6.4.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π - 2 π}{6})$

Paso 6.4.2.4.2

Resta $2 π$ de $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{9 π}{6})$

Paso 6.4.2.5

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 6.4.2.5.1

Factoriza $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

Paso 6.4.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Paso 6.4.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Paso 6.4.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 6.4.2.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Paso 6.4.2.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cdot 0$

Paso 6.4.2.8

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 0$

Paso 6.4.2.9

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6.5

Obtén el punto en $x = \frac{7 π}{3}$ .

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Paso 6.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos ((\frac{7 π}{3}) - \frac{π}{3})$

Paso 6.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.5.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{7 π - π}{3})$

Paso 6.5.2.2

Resta $π$ de $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{6 π}{3})$

Paso 6.5.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 6.5.2.3.1

Factoriza $3$ de $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Paso 6.5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Paso 6.5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Paso 6.5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

Paso 6.5.2.3.2.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

Paso 6.5.2.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cos (0)$

Paso 6.5.2.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2 \cdot 1$

Paso 6.5.2.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{3}) = 2$

Paso 6.5.2.7

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.6

Enumera los puntos en una tabla.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 2 \end{array}$

Paso 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Amplitud: $2$

Período: $2 π$

Desfase: $\frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ a la derecha)

Desplazamiento vertical: ninguno

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & 0 \\ \frac{7 π}{3} & 2 \end{array}$

Paso 8