Precálculo Ejemplos

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Paso 1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$x - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(y - 1)}^{2}$ como $(y - 1) (y - 1)$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot ((y - 1) (y - 1))$

Paso 1.3

Expande $(y - 1) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y (y - 1) - 1 (y - 1))$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1))$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.4.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.4.1.4

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1)$

Paso 1.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y + 1)$

Paso 1.4.2

Resta $y$ de $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 2 y + 1)$

Paso 1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 4 = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 1.6.2.2

Cancela el factor común.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 1.6.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2}$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4$

Paso 2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 4 \cdot 2}{2}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 8}{2}$

Paso 2.5.2

Suma $1$ y $8$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$

Paso 3

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 3.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = \frac{9}{2}$

Paso 3.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 3.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Paso 3.1.1.3.2.2

Divide $2$ por $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 3.1.1.3.2.3

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 3.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 3.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 3.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 3.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.1.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{9 - 1}{2}$

Paso 3.1.1.4.2.3

Resta $1$ de $9$ .

$e = \frac{8}{2}$

Paso 3.1.1.4.2.4

Divide $8$ por $2$ .

$e = 4$

Paso 3.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$

Paso 3.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2} + 4$

Paso 3.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = 1$

Paso 3.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 3.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, 1)$

Paso 3.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 3.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 3.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 3.5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 3.6

Obtén el foco.

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Paso 3.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 3.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{9}{2}, 1)$

Paso 3.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 1$

Paso 3.8

Obtén la directriz.

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Paso 3.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 3.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{7}{2}$

Paso 3.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(4, 1)$

Foco: $(\frac{9}{2}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = \frac{7}{2}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(4, 1)$

Foco: $(\frac{9}{2}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = \frac{7}{2}$

Paso 4

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $5$ en $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . En este caso, el punto es $(5, 2.41421356)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Resta $4$ de $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 1$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $\sqrt{2} + 1$ .

$y = \sqrt{2} + 1$

Paso 4.1.3

Convierte $\sqrt{2} + 1$ a decimal.

$= 2.41421356$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $5$ en $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . En este caso, el punto es $(5, - 0.41421356)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Resta $4$ de $5$ .

$f (5) = - \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 1$

Paso 4.2.2.2

La respuesta final es $- \sqrt{2} + 1$ .

$y = - \sqrt{2} + 1$

Paso 4.2.3

Convierte $- \sqrt{2} + 1$ a decimal.

$= - 0.41421356$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $6$ en $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . En este caso, el punto es $(6, 3)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Resta $4$ de $6$ .

$f (6) = \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (6) = \sqrt{4} + 1$

Paso 4.3.2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (6) = \sqrt{2^{2}} + 1$

Paso 4.3.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (6) = 2 + 1$

Paso 4.3.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (6) = 3$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $3$ .

$y = 3$

Paso 4.3.3

Convierte $3$ a decimal.

$= 3$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $6$ en $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . En este caso, el punto es $(6, - 1)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = - \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Resta $4$ de $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (6) = - \sqrt{4} + 1$

Paso 4.4.2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (6) = - \sqrt{2^{2}} + 1$

Paso 4.4.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (6) = - 1 \cdot 2 + 1$

Paso 4.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (6) = - 2 + 1$

Paso 4.4.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (6) = - 1$

Paso 4.4.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 4.4.3

Convierte $- 1$ a decimal.

$= - 1$

Paso 4.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Paso 5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(4, 1)$

Foco: $(\frac{9}{2}, 1)$

Eje de simetría: $y = 1$

Directriz: $x = \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Paso 6