Precálculo Ejemplos

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Paso 1.1.2

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

Paso 1.1.3

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Paso 1.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Paso 1.1.4.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Paso 1.1.4.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

Paso 1.1.4.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

Paso 1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Paso 1.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.6.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Paso 1.1.6.2.2

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Paso 1.1.6.2.3

Cancela el factor común.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Paso 1.1.6.2.4

Reescribe la expresión.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Paso 1.1.6.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

Paso 1.1.6.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 9$ .

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Paso 1.1.6.4.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

Paso 1.1.6.4.2

Combina $- 9$ y $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

Paso 1.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

Paso 1.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

Paso 1.2.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.3

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

Paso 1.2.5.2

Suma $- 9$ y $10$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Paso 2.1.1.3.2.3

Divide $3$ por $- 1$ .

$d = - 3$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{9}{2}$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Paso 2.1.1.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 + 9}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Suma $1$ y $9$ .

$e = \frac{10}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Divide $10$ por $2$ .

$e = 5$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, 5)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.5.3.3

Divide $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, \frac{9}{2})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 3$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{11}{2}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(3, 5)$

Foco: $(3, \frac{9}{2})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = \frac{11}{2}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(3, 5)$

Foco: $(3, \frac{9}{2})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = \frac{11}{2}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

Paso 3.2.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

Paso 3.2.4.2

Divide $0$ por $2$ .

$f (1) = 3 + 0$

Paso 3.2.5

Suma $3$ y $0$ .

$f (1) = 3$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

Paso 3.5.3

Suma $- 4$ y $1$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

Paso 3.5.5

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 3.5.6

Combina $6$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 3.5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 3.5.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.8.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

Paso 3.5.8.2

Resta $3$ de $12$ .

$f (2) = \frac{9}{2}$

Paso 3.5.9

La respuesta final es $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = 2$ es $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

Paso 3.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

Paso 3.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

Paso 3.8.3

Suma $- 25$ y $1$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

Paso 3.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.4.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

Paso 3.8.4.2

Divide $- 24$ por $2$ .

$f (5) = 15 - 12$

Paso 3.8.5

Resta $12$ de $15$ .

$f (5) = 3$

Paso 3.8.6

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 5$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

Paso 3.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

Paso 3.11.3

Suma $- 16$ y $1$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

Paso 3.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.4.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

Paso 3.11.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

Paso 3.11.5

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Paso 3.11.6

Combina $12$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Paso 3.11.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

Paso 3.11.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.8.1

Multiplica $12$ por $2$ .

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

Paso 3.11.8.2

Resta $15$ de $24$ .

$f (4) = \frac{9}{2}$

Paso 3.11.9

La respuesta final es $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 4$ es $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(3, 5)$

Foco: $(3, \frac{9}{2})$

Eje de simetría: $x = 3$

Directriz: $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Paso 5