Precálculo Ejemplos

$p (x) = (x - 1) (x + 2)$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $(x - 1) (x + 2)$ .

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Paso 1.1.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.1.1

Expande $(x - 1) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 2) - 1 (x + 2)$

Paso 1.1.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)$

Paso 1.1.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Paso 1.1.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Paso 1.1.1.1.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2$

Paso 1.1.1.1.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2$

Paso 1.1.1.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + 2 x - x - 2$

Paso 1.1.1.1.2.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + x - 2$

Paso 1.1.1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = - 2$

Paso 1.1.1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2}$

Paso 1.1.1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = - 2 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = - 2 - \frac{1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 2 \cdot 4 - 1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.5.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$e = \frac{- 8 - 1}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.5.2

Resta $1$ de $- 8$ .

$e = \frac{- 9}{4}$

Paso 1.1.1.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{9}{4}$

Paso 1.1.1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = - \frac{9}{4}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{1}{2}, - 2)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Foco: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{2}$

Directriz: $y = - \frac{5}{2}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Foco: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{2}$

Directriz: $y = - \frac{5}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = ((- 1) - 1) ((- 1) + 2)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Resta $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 ((- 1) + 2)$

Paso 2.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot 1$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2$

Paso 2.2.4

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = ((- 2) - 1) ((- 2) + 2)$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Resta $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = - 3 ((- 2) + 2)$

Paso 2.5.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (- 2) = - 3 \cdot 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (- 2) = 0$

Paso 2.5.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = ((1) - 1) ((1) + 2)$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (1) = 0 ((1) + 2)$

Paso 2.8.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (1) = 0 \cdot 3$

Paso 2.8.3

Multiplica $0$ por $3$ .

$f (1) = 0$

Paso 2.8.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = ((2) - 1) ((2) + 2)$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = 1 ((2) + 2)$

Paso 2.11.2

Multiplica $(2) + 2$ por $1$ .

$f (2) = (2) + 2$

Paso 2.11.3

Suma $2$ y $2$ .

$f (2) = 4$

Paso 2.11.4

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Foco: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

Eje de simetría: $x = - \frac{1}{2}$

Directriz: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

Paso 4