Precálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \tan (\frac{1}{4} x + \frac{π}{4}) - 2$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Para cualquier $y = \tan (x)$ , las asíntotas verticales se producen en $x = \frac{π}{2} + n π$ , donde $n$ es un número entero. Usa el período básico de $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ . Establece el interior de la función tangente, $b x + c$ , para que $y = a \tan (b x + c) + d$ sea igual a $- \frac{π}{2}$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ .

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $- \frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.1.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x}{4} = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{4} = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 2 π - π}{4}$

Paso 1.2.1.5.2

Resta $π$ de $- 2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{- 3 π}{4}$

Paso 1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x}{4} = - \frac{3 π}{4}$

Paso 1.2.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = - 3 π$

Paso 1.3

Establece el interior de la función de la tangente $\frac{x}{4} + \frac{π}{4}$ igual a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.4.1.1

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.4.1.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.4.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Paso 1.4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Paso 1.4.1.5.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{4}$

Paso 1.4.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = π$

Paso 1.5

El período básico de $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ se producirá en $(- 3 π, π)$ , donde $- 3 π$ y $π$ son asíntotas verticales.

$(- 3 π, π)$

Paso 1.6

Obtén el punto $\frac{π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales.

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Paso 1.6.1

$\frac{1}{4}$ es aproximadamente $0.25$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 4$

Paso 1.6.3

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$4 π$

Paso 1.7

Las asíntotas verticales de $y = 5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 2$ se producen en $- 3 π$ , $π$ y en cada $x = - 3 π + 4 π n$ , donde $n$ es un número entero.

$x = - 3 π + 4 π n$

Paso 1.8

La tangente solo tiene asíntotas verticales.

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = - 3 π + 4 π n$ donde $n$ es un número entero

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = - 3 π + 4 π n$ donde $n$ es un número entero

Paso 2

Usa la forma $a \tan (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = 5$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

Paso 3

Como la gráfica de la función $t a n$ no tiene un valor máximo o mínimo, no puede haber un valor para la amplitud.

Amplitud: ninguna

Paso 4

Obtén el período con la fórmula $\frac{π}{| b |}$ .

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Paso 4.1

Obtén el período de $5 \tan (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

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Paso 4.1.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 4.1.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{4}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Paso 4.1.3

$\frac{1}{4}$ es aproximadamente $0.25$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Paso 4.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 4$

Paso 4.1.5

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$4 π$

Paso 4.2

Obtén el período de $- 2$ .

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Paso 4.2.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 4.2.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{4}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{1}{4} |}$

Paso 4.2.3

$\frac{1}{4}$ es aproximadamente $0.25$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{4}}$

Paso 4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \cdot 4$

Paso 4.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$4 π$

Paso 4.3

El período de la suma/resta de las funciones trigonométricas es el máximo de los períodos individuales.

$4 π$

Paso 5

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Paso 5.1

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Paso 5.2

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

Desfase: $- \frac{π}{4} \cdot 4$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

Desfase: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

Desfase: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

Desfase: $- π$

Paso 6

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: ninguna

Período: $4 π$

Desfase: $- π$ ( $π$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $- 2$

Paso 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Asíntotas verticales: $x = - 3 π + 4 π n$ donde $n$ es un número entero

Amplitud: ninguna

Período: $4 π$

Desfase: $- π$ ( $π$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $- 2$

Paso 8