Precálculo Ejemplos

$f (x) = \log_{4} (x - 3)$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Establece el argumento del logaritmo igual a cero.

$x - 3 = 0$

Paso 1.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 1.3

La asíntota vertical ocurre en $x = 3$ .

Asíntota vertical: $x = 3$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 4$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \log_{4} ((4) - 3)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Resta $3$ de $4$ .

$f (4) = \log_{4} (1)$

Paso 2.2.2

El logaritmo en base $4$ de $1$ es $0$ .

$f (4) = 0$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Convierte $0$ a decimal.

$y = 0$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 7$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f (7) = \log_{4} ((7) - 3)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Resta $3$ de $7$ .

$f (7) = \log_{4} (4)$

Paso 3.2.2

El logaritmo en base $4$ de $4$ es $1$ .

$f (7) = 1$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 3.3

Convierte $1$ a decimal.

$y = 1$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 5$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \log_{4} ((5) - 3)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Resta $3$ de $5$ .

$f (5) = \log_{4} (2)$

Paso 4.2.2

El logaritmo en base $4$ de $2$ es $\frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe como una ecuación.

$\log_{4} (2) = x$

Paso 4.2.2.2

Reescribe $\log_{4} (2) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 2$

Paso 4.2.2.3

Crea expresiones en la ecuación que tengan bases iguales.

${(2^{2})}^{x} = 2^{1}$

Paso 4.2.2.4

Reescribe ${(2^{2})}^{x}$ como $2^{2 x}$ .

$2^{2 x} = 2^{1}$

Paso 4.2.2.5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$2 x = 1$

Paso 4.2.2.6

Resuelve $x$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.7

La variable $x$ es igual a $\frac{1}{2}$ .

$f (5) = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4.3

Convierte $\frac{1}{2}$ a decimal.

$y = 0.5$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 3$ y los puntos $(4, 0), (7, 1), (5, 0.5)$ .

Asíntota vertical: $x = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & 0.5 \\ 7 & 1 \end{array}$

Paso 6