Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 16 x + 64$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $x^{2} + 16 x + 64$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 16$

$c = 64$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{8}{1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$d = 8$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 64 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$e = 64 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 64 - \frac{256}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide $256$ por $4$ .

$e = 64 - 1 \cdot 64$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = 64 - 64$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta $64$ de $64$ .

$e = 0$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 8)}^{2} + 0$ .

${(x + 8)}^{2} + 0$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x + 8)}^{2} + 0$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - 8$

$k = 0$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 8, 0)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 8, \frac{1}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 8$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 8, 0)$

Foco: $(- 8, \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = - 8$

Directriz: $y = - \frac{1}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 8, 0)$

Foco: $(- 8, \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = - 8$

Directriz: $y = - \frac{1}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9$ en la expresión.

$f (- 9) = {(- 9)}^{2} + 16 (- 9) + 64$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$f (- 9) = 81 + 16 (- 9) + 64$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $16$ por $- 9$ .

$f (- 9) = 81 - 144 + 64$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $144$ de $81$ .

$f (- 9) = - 63 + 64$

Paso 2.2.2.2

Suma $- 63$ y $64$ .

$f (- 9) = 1$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 9$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 10$ en la expresión.

$f (- 10) = {(- 10)}^{2} + 16 (- 10) + 64$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$f (- 10) = 100 + 16 (- 10) + 64$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $16$ por $- 10$ .

$f (- 10) = 100 - 160 + 64$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Resta $160$ de $100$ .

$f (- 10) = - 60 + 64$

Paso 2.5.2.2

Suma $- 60$ y $64$ .

$f (- 10) = 4$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 10$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 7$ en la expresión.

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 16 (- 7) + 64$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$f (- 7) = 49 + 16 (- 7) + 64$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $16$ por $- 7$ .

$f (- 7) = 49 - 112 + 64$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta $112$ de $49$ .

$f (- 7) = - 63 + 64$

Paso 2.8.2.2

Suma $- 63$ y $64$ .

$f (- 7) = 1$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 7$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = {(- 6)}^{2} + 16 (- 6) + 64$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f (- 6) = 36 + 16 (- 6) + 64$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $16$ por $- 6$ .

$f (- 6) = 36 - 96 + 64$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Resta $96$ de $36$ .

$f (- 6) = - 60 + 64$

Paso 2.11.2.2

Suma $- 60$ y $64$ .

$f (- 6) = 4$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 6$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 4 \\ - 9 & 1 \\ - 8 & 0 \\ - 7 & 1 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 8, 0)$

Foco: $(- 8, \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $x = - 8$

Directriz: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 4 \\ - 9 & 1 \\ - 8 & 0 \\ - 7 & 1 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Paso 4