Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 3 x + \frac{1}{4}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $x^{2} + 3 x + \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 3$

$c = \frac{1}{4}$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{3}{2}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 - 9}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Resta $9$ de $1$ .

$e = \frac{- 8}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Divide $- 8$ por $4$ .

$e = - 2$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$ .

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{3}{2}$

$k = - 2$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{3}{2}, - 2)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{9}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{3}{2}, - 2)$

Foco: $(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

Eje de simetría: $x = - \frac{3}{2}$

Directriz: $y = - \frac{9}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{3}{2}, - 2)$

Foco: $(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

Eje de simetría: $x = - \frac{3}{2}$

Directriz: $y = - \frac{9}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 3 (- 3) + \frac{1}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = 9 + 3 (- 3) + \frac{1}{4}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 9 + \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Escribe $9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{1} - 9 + \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.4

Escribe $- 9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.6

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{9 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 1}{4}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Multiplica $9$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{36 - 9 \cdot 4 + 1}{4}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{36 - 36 + 1}{4}$

Paso 2.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Resta $36$ de $36$ .

$f (- 3) = \frac{0 + 1}{4}$

Paso 2.2.5.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (- 3) = \frac{1}{4}$

Paso 2.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + \frac{1}{4}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = 16 + 3 (- 4) + \frac{1}{4}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 12 + \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Escribe $16$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 4) = \frac{16}{1} - 12 + \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4} - 12 + \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} - 12 + \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2.4

Escribe $- 12$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} + \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2.5

Multiplica $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2.6

Multiplica $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 4) = \frac{16 \cdot 4 - 12 \cdot 4 + 1}{4}$

Paso 2.5.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.4.1

Multiplica $16$ por $4$ .

$f (- 4) = \frac{64 - 12 \cdot 4 + 1}{4}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$f (- 4) = \frac{64 - 48 + 1}{4}$

Paso 2.5.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.5.1

Resta $48$ de $64$ .

$f (- 4) = \frac{16 + 1}{4}$

Paso 2.5.5.2

Suma $16$ y $1$ .

$f (- 4) = \frac{17}{4}$

Paso 2.5.6

La respuesta final es $\frac{17}{4}$ .

$\frac{17}{4}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $\frac{17}{4}$ .

$y = \frac{17}{4}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) + \frac{1}{4}$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 + 3 (- 1) + \frac{1}{4}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 3 + \frac{1}{4}$

Paso 2.8.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} - 3 + \frac{1}{4}$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3 + \frac{1}{4}$

Paso 2.8.2.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} - 3 + \frac{1}{4}$

Paso 2.8.2.4

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} + \frac{1}{4}$

Paso 2.8.2.5

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2.8.2.6

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{4 - 3 \cdot 4 + 1}{4}$

Paso 2.8.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.4.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (- 1) = \frac{4 - 12 + 1}{4}$

Paso 2.8.4.2

Resta $12$ de $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 + 1}{4}$

Paso 2.8.4.3

Suma $- 8$ y $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 7}{4}$

Paso 2.8.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{7}{4}$

Paso 2.8.5

La respuesta final es $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + \frac{1}{4}$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 3 (0) + \frac{1}{4}$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{1}{4}$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{1}{4}$

Paso 2.11.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (0) = \frac{1}{4}$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 0$ es $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & \frac{17}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - 2 \\ - 1 & - \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- \frac{3}{2}, - 2)$

Foco: $(- \frac{3}{2}, - \frac{7}{4})$

Eje de simetría: $x = - \frac{3}{2}$

Directriz: $y = - \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & \frac{17}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{2} & - 2 \\ - 1 & - \frac{7}{4} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}$

Paso 4