Precálculo Ejemplos

(\frac{π}{2}, π)

$(\frac{π}{2}, π)$

Paso 1

Para obtener

sin (θ)

$\sin (θ)$ entre el eje x y la línea entre los puntos

(0, 0)

$(0, 0)$ y

(\frac{π}{2}, π)

$(\frac{π}{2}, π)$ , dibuja el triángulo entre los tres puntos

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(\frac{π}{2}, 0)

$(\frac{π}{2}, 0)$ y

(\frac{π}{2}, π)

$(\frac{π}{2}, π)$ .

Opuesto:

π

$π$

Adyacente:

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

Paso 2

Obtén la hipotenusa con el teorema de Pitágoras

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

\sqrt{\frac{π^{2}}{2^{2}} + {(π)}^{2}}

$\sqrt{\frac{π^{2}}{2^{2}} + {(π)}^{2}}$

Paso 2.2

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + {(π)}^{2}}

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + {(π)}^{2}}$

Paso 2.3

Para escribir

π^{2}

$π^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + π^{2} \cdot \frac{4}{4}}

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + π^{2} \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 2.4

Combina

π^{2}

$π^{2}$ y

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + \frac{π^{2} \cdot 4}{4}}

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + \frac{π^{2} \cdot 4}{4}}$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

\sqrt{\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}}

$\sqrt{\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}}$

Paso 2.6

Reescribe

\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}

$\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}$ en forma factorizada.

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Paso 2.6.1

Mueve

4

$4$ a la izquierda de

π^{2}

$π^{2}$ .

\sqrt{\frac{π^{2} + 4 \cdot π^{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{π^{2} + 4 \cdot π^{2}}{4}}$

Paso 2.6.2

Suma

π^{2}

$π^{2}$ y

4 π^{2}

$4 π^{2}$ .

\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$

\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$

Paso 2.7

Reescribe

\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$ como

\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$ .

\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Reordena

5

$5$ y

π^{2}

$π^{2}$ .

\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.8.2

Retira los términos de abajo del radical.

\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{4}}

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{4}}

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.9

Simplifica el denominador.

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Paso 2.9.1

Reescribe

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

\frac{π \sqrt{5}}{2}

$\frac{π \sqrt{5}}{2}$

\frac{π \sqrt{5}}{2}

$\frac{π \sqrt{5}}{2}$

\frac{π \sqrt{5}}{2}

$\frac{π \sqrt{5}}{2}$

Paso 3

sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}

$\sin (θ) = \frac{Opuesto}{Hipotenusa}$ por lo tanto

sin (θ) = \frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}

$\sin (θ) = \frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$ .

\frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}

$\frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$

Paso 4

Simplifica

sin (θ)

$\sin (θ)$ .

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

Paso 4.2

Cancela el factor común de

π

$π$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza

π

$π$ de

π \sqrt{5}

$π \sqrt{5}$ .

sin (θ) = π ⎛ ⎜ ⎝ \frac{2}{π (\sqrt{5})} ⎞ ⎟ ⎠

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π (\sqrt{5})})$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Paso 4.3

Multiplica

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ por

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.1

Multiplica

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ por

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 4.4.2

Eleva

$\sqrt{5}$ a la potencia de

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 4.4.3

Eleva

$\sqrt{5}$ a la potencia de

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 4.4.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 4.4.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 4.4.6

Reescribe

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

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Paso 4.4.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.4.6.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 5

Aproxima el resultado.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0.89442719$