Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 16 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 4, 4$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

Paso 2.9.1.3

$720$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Paso 2.9.2.3

$- 48$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

Paso 2.9.3.3

$- 48$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.9.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

Paso 2.9.4.3

$720$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 4$ o $x \geq 4$ o $x = 0$

Paso 2.11

Combina los intervalos.

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \geq 0}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Rango: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Paso 6