Precálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{11} 3 \cdot 2^{i}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{3 \cdot 2^{i + 1}}{3 \cdot 2^{i}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{3 \cdot 2^{i + 1}}{3 \cdot 2^{i}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2^{i + 1}$ y $2^{i}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $2^{i}$ de $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{2}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$r = 2$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $i$ en $3 \cdot 2^{i}$ .

$a = 3 \cdot 2^{1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Evalúa el exponente.

$a = 3 \cdot 2$

Paso 3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$a = 6$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$6 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $11$ .

$6 \frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $2048$ .

$6 \frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.1.3

Resta $2048$ de $1$ .

$6 \frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 \frac{- 2047}{1 - 2}$

Paso 5.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$6 (\frac{- 2047}{- 1})$

Paso 5.3

Divide $- 2047$ por $- 1$ .

$6 \cdot 2047$

Paso 5.4

Multiplica $6$ por $2047$ .

$12282$